Номер 1093, страница 243 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1093, страница 243.

1093. Зависимость расстояния s (км), которое велосипедист проехал от турбазы, от времени его движения t (ч) задана следующим образом:

Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2). Постройте график функции s = f(t) (масштаб по оси t: 1 ед. — 6 клеточек; по оси s: 10 ед. — 4 клеточки). Опишите, как происходило движение велосипедиста.

$S=\left\{\begin{array}{l}15t, \text{если}0\le t<\frac{7}{6},\\ \mathrm{17,5}, \text{если}\frac{7}{6}\le t\le \frac{3}{2},\\ -12t+\mathrm{35,5}, \text{если}\frac{3}{2}<t\le \frac{5}{2}\end{array}\right.$

S(0)=15*0=0;

S(1)=15*1=15

S(1,4)=17,5

S(2)=-12*2+35,5=-24+35,5=11,5

$[0; \frac{7}{6})$ч велосипедист ехал от турбазы со скоростью 15км/ч

$\left[\frac{7}{6}; \frac{3}{2}\right]$ч - велосипедист отдыхал

$\left[\frac{3}{2}; \frac{5}{2}\right]$ - велосипедист возвращался на турбазу

Найдите s(0); s(1); s(1,4); s(2).

Для нахождения значений функции $s(t)$ в заданных точках, необходимо определить, какому временному интервалу принадлежит каждая точка $t$, и использовать соответствующую этой части функции формулу.

1. s(0):
Значение $t=0$ принадлежит первому интервалу $0 \le t < \frac{7}{6}$, так как $0 \le 0 < 1,167...$
Используем формулу $s(t) = 15t$.
$s(0) = 15 \cdot 0 = 0$ км.

2. s(1):
Значение $t=1$ принадлежит первому интервалу $0 \le t < \frac{7}{6}$, так как $0 \le 1 < 1,167...$
Используем формулу $s(t) = 15t$.
$s(1) = 15 \cdot 1 = 15$ км.

3. s(1,4):
Переведем границы второго интервала в десятичные дроби: $\frac{7}{6} \approx 1,167$ и $\frac{3}{2} = 1,5$.
Значение $t=1,4$ принадлежит второму интервалу $\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$, так как $1,167 \le 1,4 \le 1,5$.
Используем формулу $s(t) = 17,5$.
$s(1,4) = 17,5$ км.

4. s(2):
Переведем границы третьего интервала в десятичные дроби: $\frac{3}{2} = 1,5$ и $\frac{5}{2} = 2,5$.
Значение $t=2$ принадлежит третьему интервалу $\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$, так как $1,5 < 2 \le 2,5$.
Используем формулу $s(t) = -12t + 35,5$.
$s(2) = -12 \cdot 2 + 35,5 = -24 + 35,5 = 11,5$ км.

Ответ: $s(0)=0$ км, $s(1)=15$ км, $s(1,4)=17,5$ км, $s(2)=11,5$ км.

Постройте график функции s = f(t).

График функции состоит из трех частей, каждая из которых является отрезком прямой. Для построения графика найдем координаты ключевых (граничных) точек на каждом интервале.

1. Участок $0 \le t < \frac{7}{6}$: $s(t) = 15t$
Это отрезок прямой.
Начальная точка: при $t=0$, $s(0) = 15 \cdot 0 = 0$. Координаты: $(0; 0)$.
Конечная точка (не включена): при $t=\frac{7}{6}$, $s(\frac{7}{6}) = 15 \cdot \frac{7}{6} = \frac{105}{6} = 17,5$. Координаты: $(\frac{7}{6}; 17,5)$.

2. Участок $\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$: $s(t) = 17,5$
Это горизонтальный отрезок прямой.
Начальная точка: при $t=\frac{7}{6}$, $s=17,5$. Координаты: $(\frac{7}{6}; 17,5)$.
Конечная точка: при $t=\frac{3}{2}=1,5$, $s=17,5$. Координаты: $(1,5; 17,5)$.

3. Участок $\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$: $s(t) = -12t + 35,5$
Это отрезок прямой.
Начальная точка (не включена): при $t=\frac{3}{2}=1,5$, $s(1,5) = -12 \cdot 1,5 + 35,5 = -18 + 35,5 = 17,5$. Координаты: $(1,5; 17,5)$.
Конечная точка: при $t=\frac{5}{2}=2,5$, $s(2,5) = -12 \cdot 2,5 + 35,5 = -30 + 35,5 = 5,5$. Координаты: $(2,5; 5,5)$.

Функция является непрерывной, так как значения на стыках интервалов совпадают. График представляет собой ломаную линию, проходящую через точки $(0; 0)$, $(\frac{7}{6}; 17,5)$, $(1,5; 17,5)$ и $(2,5; 5,5)$. Для построения в заданном масштабе (ось $t$: 1 ед. = 6 клеточек; ось $s$: 10 ед. = 4 клеточки) нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их отрезками.

Ответ: График функции является ломаной линией, последовательно соединяющей точки с координатами $(0; 0)$, $(\frac{7}{6}; 17,5)$, $(\frac{3}{2}; 17,5)$ и $(\frac{5}{2}; 5,5)$.

Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Анализ графика и функции $s(t)$ позволяет описать движение велосипедиста, где $s$ — расстояние от турбазы в км, а $t$ — время в часах.

1. Первый этап ($0 \le t < \frac{7}{6}$ ч):
Функция $s(t)=15t$ — линейная с положительным коэффициентом. Это означает, что велосипедист движется от турбазы с постоянной скоростью. Скорость равна угловому коэффициенту, то есть 15 км/ч. Этот этап длится $\frac{7}{6}$ часа (что равно 1 часу 10 минутам). За это время велосипедист удалился на расстояние $s(\frac{7}{6}) = 17,5$ км.

2. Второй этап ($\frac{7}{6} \le t \le \frac{3}{2}$ ч):
Функция $s(t)=17,5$ — постоянная. Расстояние от турбазы не меняется. Это означает, что велосипедист остановился. Продолжительность остановки: $\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9-7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ часа (что равно 20 минутам). Остановка произошла на расстоянии 17,5 км от турбазы.

3. Третий этап ($\frac{3}{2} < t \le \frac{5}{2}$ ч):
Функция $s(t)=-12t+35,5$ — линейная с отрицательным коэффициентом. Это означает, что расстояние от турбазы уменьшается, то есть велосипедист движется обратно к турбазе. Его скорость постоянна и равна модулю углового коэффициента: $|-12| = 12$ км/ч. Этот этап длится $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1$ час. В конце этого этапа (при $t=2,5$ ч) велосипедист находился на расстоянии $s(2,5) = 5,5$ км от турбазы.

Ответ: Велосипедист выехал с турбазы и двигался с постоянной скоростью 15 км/ч в течение 1 часа 10 минут, проехав 17,5 км. Затем он сделал остановку на 20 минут. После остановки он поехал обратно в сторону турбазы со скоростью 12 км/ч в течение 1 часа. По окончании наблюдения (через 2,5 часа после старта) он находился на расстоянии 5,5 км от турбазы.