Номер 1086, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1086, страница 240.

1086. Постройте график функции f(x) = –2x.

Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от 0 до +∞ (увеличиваются или уменьшаются)? Укажите область определения и множество значений данной функции.

$f\left(x\right)=-2\sqrt{x}f(x)=-2\backslash sqrt\{x\}, x\ge 0x\; \backslash ge\; 0$

x	0	1	4	9
y	0	-2	-4	-6

С увеличением значений аргумента от 0 до +∞ значения функции уменьшаются

$$\begin{gathered} D\left(f\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \\ E\left(f\right)=(-\mathrm{\infty }; 0] \end{gathered}$$

Постройте график функции $f(x) = -2\sqrt{x}$

График функции $f(x) = -2\sqrt{x}$ можно построить, исходя из графика основной функции $y = \sqrt{x}$. Для этого нужно выполнить следующие преобразования:

1. Построить график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.
2. Растянуть график $y = \sqrt{x}$ от оси $Ox$ в 2 раза. Получим график функции $y = 2\sqrt{x}$.
3. Симметрично отразить график $y = 2\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Получим искомый график функции $f(x) = -2\sqrt{x}$.

Для более точного построения составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	0	1	4	9
$f(x) = -2\sqrt{x}$	$-2\sqrt{0} = 0$	$-2\sqrt{1} = -2$	$-2\sqrt{4} = -4$	$-2\sqrt{9} = -6$

Отметим точки $(0, 0)$, $(1, -2)$, $(4, -4)$, $(9, -6)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в четвертой координатной четверти.

Ответ: График функции $f(x) = -2\sqrt{x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$ и последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$. Он начинается в точке $(0,0)$ и убывает в четвертой координатной четверти.

Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от 0 до +? (увеличиваются или уменьшаются)?

Рассмотрим два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0, +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, то из $x_1 < x_2$ следует, что $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$. Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-2\sqrt{x_1} > -2\sqrt{x_2}$. Это означает, что $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, функция $f(x) = -2\sqrt{x}$ является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: С увеличением значений аргумента от 0 до $+\infty$ значения данной функции уменьшаются.

Укажите область определения и множество значений данной функции

1. Область определения функции (D(f)). Область определения функции $f(x) = -2\sqrt{x}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции — это все неотрицательные числа. $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Множество значений функции (E(f)). По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Умножая это неравенство на $-2$, получаем: $-2\sqrt{x} \le 0$. Значит, $f(x) \le 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, множество значений функции — это все не-положительные числа. $E(f) = (-\infty, 0]$.

Ответ: Область определения: $D(f) = [0, +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (-\infty, 0]$.