Номер 1085, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1085, страница 240.

1085. Постройте график функции f(x) = –x². Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от –∞ до 0 (увеличиваются или уменьшаются)? Укажите область определения и множество значений данной функции.

y=-x²

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	-1	-4	-9	-1	-4	-9

С увеличением значений аргумента от -∞ до 0 значения функции увеличивается

D(y)=(-∞; +∞)

E(y)=(-∞; 0]

Постройте график функции $f(x) = -x^2$
Данная функция является квадратичной, её график — это парабола. Эта парабола является отражением графика функции $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
Основные свойства графика $f(x) = -x^2$:
1. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
2. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1).
3. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:
При $x = 0$, $f(0) = -0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 1$, $f(1) = -1^2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
При $x = -1$, $f(-1) = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
При $x = 2$, $f(2) = -2^2 = -4$. Точка $(2, -4)$.
При $x = -2$, $f(-2) = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график.
Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

Как изменяются значения данной функции с увеличением значений аргумента от $-\infty$ до 0 (увеличиваются или уменьшаются)?
Рассмотрим, как ведёт себя функция $f(x) = -x^2$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.
Возьмём два любых значения $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, так что $x_1 < x_2$. Например, пусть $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
Найдём соответствующие значения функции:
$f(x_1) = f(-3) = -(-3)^2 = -9$.
$f(x_2) = f(-1) = -(-1)^2 = -1$.
Мы видим, что при увеличении аргумента (от -3 до -1) соответствующее значение функции также увеличивается (от -9 до -1), так как $-9 < -1$. Это означает, что на промежутке $(-\infty; 0)$ функция является возрастающей.
Ответ: С увеличением значений аргумента от $-\infty$ до 0 значения функции увеличиваются.

Укажите область определения и множество значений данной функции
Область определения функции (D(f)):
Выражение $-x^2$ имеет смысл при любом действительном значении аргумента $x$. Никаких ограничений (вроде деления на ноль или извлечения корня из отрицательного числа) нет. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции (E(f)):
Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), то выражение $-x^2$ будет всегда неположительным (меньшим или равным нулю).
$-x^2 \le 0$.
Максимальное значение функции равно 0, оно достигается при $x=0$. Наименьшего значения не существует, так как функция может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения. Таким образом, множество значений функции — это все числа от $-\infty$ до 0, включая 0.
$E(f) = (-\infty; 0]$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 0]$.