Номер 1078, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1078, страница 239.

1078. На рисунке 53 изображён график функции y = g(x), областью определения которой служит отрезок [–6; 5]. С помощью графика найдите:

а) g(–4), g(–1), g(1), g(5);

б) значения x, при которых g(x) = 4, g(x) = –4, g(x) = 0;

в) наибольшее и наименьшее значения функции;

г) множество значений функции.

D(g)=[-6;5]

a) g(-4)=-3; g(-1)=-2; g(1)=3

g(5)=3

б) g(x)=4; x≈1,2; x≈4,8

g(x)=-4; x=-3

g(x)=0; x=0; x=-5

в) $y_{наиб.}=6; y_{наим.}=-4$

г) E(g)=[-4; 6]

а) Чтобы найти значение функции $g(x)$ при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) точку с этой координатой, затем найти соответствующую ей точку на графике и определить ее ординату (координату по оси $y$).

1. Для $x = -4$: находим на оси $x$ точку $-4$. Двигаемся от нее вертикально до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет координаты $(-4, 0)$. Следовательно, $g(-4) = 0$.

2. Для $x = -1$: находим на оси $x$ точку $-1$. Двигаемся от нее вертикально вниз до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет координаты $(-1, -3)$. Следовательно, $g(-1) = -3$.

3. Для $x = 1$: находим на оси $x$ точку $1$. Двигаемся от нее вертикально вверх до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет координаты $(1, 2)$. Следовательно, $g(1) = 2$.

4. Для $x = 5$: находим на оси $x$ точку $5$. Это правая граница области определения. Точка на графике имеет координаты $(5, 2)$. Следовательно, $g(5) = 2$.

Ответ: $g(-4) = 0$; $g(-1) = -3$; $g(1) = 2$; $g(5) = 2$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых $g(x)$ равно определенному числу, нужно найти это число на оси ординат (оси $y$), провести горизонтальную прямую через эту точку и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

1. $g(x) = 4$: проводим горизонтальную прямую $y = 4$. Эта прямая пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна $3$. Значит, $g(x) = 4$ при $x = 3$.

2. $g(x) = -4$: проводим горизонтальную прямую $y = -4$. Эта прямая касается графика в одной точке (в вершине параболического участка), абсцисса которой равна $-2$. Значит, $g(x) = -4$ при $x = -2$.

3. $g(x) = 0$: ищем точки пересечения графика с осью $x$ (прямой $y=0$). Таких точек две. Их абсциссы равны $-4$ и $0$. Значит, $g(x) = 0$ при $x = -4$ и $x = 0$.

Ответ: при $g(x) = 4$, $x = 3$; при $g(x) = -4$, $x = -2$; при $g(x) = 0$, $x \in \{-4, 0\}$.

в) Наибольшее и наименьшее значения функции – это наибольшая и наименьшая ординаты точек графика на всей области определения.

1. Наибольшее значение функции (максимум): находим самую высокую точку на графике. Это точка с координатами $(3, 4)$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $4$. Обозначается как $y_{max} = 4$.

2. Наименьшее значение функции (минимум): находим самую низкую точку на графике. Это точка с координатами $(-2, -4)$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $-4$. Обозначается как $y_{min} = -4$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $4$; наименьшее значение функции равно $-4$.

г) Множество значений функции – это все значения, которые принимает переменная $y$ на области определения функции $[-6, 5]$. Это отрезок от наименьшего до наибольшего значения функции.

Как мы определили в пункте (в), наименьшее значение функции равно $-4$, а наибольшее равно $4$. График представляет собой непрерывную кривую, поэтому функция принимает все значения между $-4$ и $4$ включительно.

Таким образом, множество значений функции – это отрезок $[-4, 4]$. Это можно записать как $E(g) = [-4, 4]$.

Ответ: $[-4, 4]$.