Номер 1072, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1072, страница 238.

1072. Приведите пример функции, область определения которой:

а) множество всех чисел;

б) множество всех чисел, кроме 7.

а) y=5x+2

б) $y=\frac{x}{x-7}$

а) множество всех чисел;
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение функции имеет смысл. Чтобы функция была определена для всех действительных чисел, в её аналитическом выражении не должно быть операций, которые могут быть невыполнимы для некоторых значений $x$. К таким операциям относятся, например, деление на выражение, которое может обратиться в ноль, или извлечение корня четной степени из отрицательного числа.
Этому требованию удовлетворяют все многочлены (полиномиальные функции). Например, линейная функция вида $y = kx+b$ или квадратичная функция $y = ax^2+bx+c$ определены при любом $x \in \mathbb{R}$.
В качестве примера приведем простую линейную функцию.
Ответ: $y = 5x - 2$.

б) множество всех чисел, кроме 7.
Чтобы из области определения функции было исключено только одно число $x=7$, необходимо создать условие, при котором вычисление значения функции при $x=7$ становится невозможным. Самый распространенный способ для этого — использовать операцию деления на ноль.
Для этого нужно сконструировать дробь, знаменатель которой обращается в ноль именно при $x=7$. Этому условию удовлетворяет выражение $x-7$, так как при $x=7$ оно равно $7-7=0$. В числителе может стоять любое число, отличное от нуля (например, 1), или любое другое выражение, которое определено при $x=7$.
Таким образом, функция $y = \frac{1}{x-7}$ будет определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x-7 \neq 0$, что равносильно $x \neq 7$.
Ответ: $y = \frac{1}{x-7}$.