Номер 1068, страница 237 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1068, страница 237.

1068. Найдите значения x, при которых g(x) = 0, если:

$g\left(x\right)=0g(x)=0$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}g\left(x\right)=x\left(x+4\right) \\ x\left(x+4\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x+4=0\\ & & x=-4\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -4; 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}g\left(x\right)=\frac{x+1}{5-x} \\ \frac{x+1}{5-x}=0 \\ \begin{array}{lcl}x+1=0& \text{и}& 5-x\ne 0\\ x=-1& & x\ne 5\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: -1

а) Для того чтобы найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$, необходимо решить уравнение $g(x) = 0$ для заданной функции $g(x) = x(x + 4)$.

Получаем уравнение:

$x(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$

2) $x + 4 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x = -4$

Таким образом, функция $g(x)$ обращается в ноль при двух значениях $x$.

Ответ: $0; -4$.

б) В этом случае нам нужно найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$ для функции $g(x) = \frac{x+1}{5-x}$.

Составляем уравнение:

$\frac{x+1}{5-x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ 5 - x \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение системы:

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие ($5 - x \neq 0$) для найденного значения $x = -1$. Подставляем $-1$ в знаменатель:

$5 - (-1) = 5 + 1 = 6$

Поскольку $6 \neq 0$, условие выполняется. Значит, $x = -1$ является решением уравнения.

Ответ: $-1$.