Номер 1071, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1071, страница 238.

1071. Найдите область определения функции, заданной формулой:

$\mathbf{\text{а) }}y=4x-8$

Ответ: все числа

$\mathbf{\text{б) }}y=x^2-5x+1$

Ответ: все числа

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{2x}{5-x} \\ 5-x\ne 0 \\ x\ne 5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\frac{3}{(x-4)(x+1)} \\ (x-4)(x+1)\ne 0 \\ \begin{array}{lcl}x-4\ne 0& \text{и}& x+1\ne 0\\ x\ne 4& & x\ne -1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -1 и 4

$\mathbf{\text{д) }}y=\frac{1}{x^2+1}$

Ответ: все числа

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}y=\sqrt{x-5} \\ x-5\ge 0 \\ x\ge 5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, больше или равные 5

а) $y = 4x - 8$

Данная функция является линейной (многочлен первой степени). Выражение $4x - 8$ определено для любых значений переменной $x$. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x$ — любое число, или $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

б) $y = x^2 - 5x + 1$

Данная функция является квадратичной (многочлен второй степени). Выражение $x^2 - 5x + 1$ определено для любых значений переменной $x$. Ограничений на область определения нет.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x$ — любое число, или $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

в) $y = \frac{2x}{5-x}$

Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$5 - x = 0$

$x = 5$

Таким образом, функция не определена при $x = 5$. Область определения — все действительные числа, кроме 5.

Ответ: $x \neq 5$, или $D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

---

г) $y = \frac{3}{(x-4)(x+1)}$

Это дробно-рациональная функция. Область определения — все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$(x-4)(x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x = 4$ или $x = -1$

Следовательно, функция не определена в точках $x = 4$ и $x = -1$.

Ответ: $x \neq 4$ и $x \neq -1$, или $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)$.

---

д) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

Это дробно-рациональная функция. Необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Проверим, может ли знаменатель $x^2 + 1$ быть равен нулю.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поэтому выражение $x^2 + 1$ всегда положительно ( $x^2 + 1 \ge 1$ ). Знаменатель никогда не обращается в ноль.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x$ — любое число, или $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

---

е) $y = \sqrt{x-5}$

Данная функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$x - 5 \ge 0$

$x \ge 5$

Таким образом, область определения функции — все числа, большие или равные 5.

Ответ: $x \ge 5$, или $D(y) = [5; +\infty)$.