Номер 1073, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1073, страница 238.

1073. Какова область определения функции, заданной формулой:

a) y=x²+2x

Ответ: все числа

б) y=$\frac{x-1}{1+x}\backslash frac\{x-1\}\{1+x\}$

1+x≠0

x≠-1

Ответ: D(f)=(-∞;-1)∪(-1;+∞)

в) y=$\sqrt{9+x}\backslash sqrt\{9+x\}$

9+x ≥ 0

x ≥ -9

Ответ: D(f)=[-9;+∞)

г) y=$\sqrt{3-x}\backslash sqrt\{3-x\}$

3-x ≥ 0

x ≤ 3

Ответ: D(f)=(-∞;3]

а) Функция $y = x^2 + 2x$ является многочленом (квадратичной функцией). Выражение $x^2 + 2x$ определено для любых действительных значений переменной $x$, так как в нем отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня из выражения с переменной. Следовательно, никаких ограничений на область определения нет. Областью определения является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{x-1}{1+x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции исключает значения переменной, которые обращают знаменатель в ноль, так как деление на ноль не определено. Найдем недопустимое значение $x$, приравняв знаменатель к нулю:
$1 + x = 0$
$x = -1$
Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме $-1$.
Ответ: $x \neq -1$, или $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в) Функция $y = \sqrt{9 + x}$ содержит переменную под знаком квадратного корня. В области действительных чисел корень четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Составим и решим неравенство:
$9 + x \ge 0$
$x \ge -9$
Следовательно, область определения функции - это все числа, большие или равные $-9$.
Ответ: $x \ge -9$, или $x \in [-9; +\infty)$.

г) Функция $y = \sqrt{3 - x}$ также содержит переменную под знаком квадратного корня. Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$3 - x \ge 0$
Перенесем $x$ в правую часть:
$3 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 3$.
Таким образом, область определения функции - это все числа, меньшие или равные 3.
Ответ: $x \le 3$, или $x \in (-\infty; 3]$.