Номер 1062, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1062, страница 233.

1062. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?

Пусть на х км/ч поезд увеличил скорость, тогда средняя скорость поезда равна $\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{60+x}}}\backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{60\}+\backslash frac\{1\}\{60+x\}\}$км/ч. Зная, что средняя скорость на всём участке не превышала 72км/ч, составим и решим неравенство

$$\begin{gathered} \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{60+x}}}\le 72 \\ \frac{2}{{\displaystyle \frac{60+x+60}{60\left(60+x\right)}}}\le 72 \\ \frac{2·60\left(60+x\right)}{120+x}\le 72 /·120+x \\ 120\left(60+x\right)\le 72\left(120+x\right) \\ 120·60+120x\le 72·120+72x \\ 120x-72x\le 72·120-60·120 \\ 48x\le 120·\left(72-60\right) \\ 48x\le 120·12 \\ x\le \frac{120·12}{48} \\ x\le \frac{120}{4} \\ x\le 30 \\ x+60\le 30+60 \\ x+60\le 90,\text{ но }60<x+60 \end{gathered}$$

Ответ: более, чем 60км/ч, но не более, чем 90км/ч

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – весь путь, который прошел поезд.
• $v_1$ – скорость поезда на первой половине пути.
• $v_2$ – скорость поезда на второй половине пути.
• $v_{ср}$ – средняя скорость поезда на всём пути.

По условию, первая половина пути составляет $S/2$, и вторая половина пути также составляет $S/2$. Скорость на первой половине пути $v_1 = 60$ км/ч. На второй половине пути поезд увеличил скорость, следовательно, $v_2 > v_1$, то есть $v_2 > 60$ км/ч.

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Время, затраченное на каждый участок пути:

• Время на первой половине пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ ч.
• Время на второй половине пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$ ч.

Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{120} + \frac{S}{2v_2}$.

Теперь можем выразить среднюю скорость через $v_2$: $v_{ср} = \frac{S}{t_1 + t_2} = \frac{S}{\frac{S}{120} + \frac{S}{2v_2}}$

Вынесем $S$ за скобки в знаменателе и сократим: $v_{ср} = \frac{S}{S(\frac{1}{120} + \frac{1}{2v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{120} + \frac{1}{2v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю: $v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_2 + 60}{120v_2}} = \frac{120v_2}{v_2 + 60}$

Согласно условию, средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч. Это означает, что $v_{ср} \le 72$. Составим и решим неравенство: $\frac{120v_2}{v_2 + 60} \le 72$

Так как скорость $v_2$ должна быть положительной (более того, $v_2 > 60$), знаменатель $v_2 + 60$ всегда положителен. Поэтому можно умножить обе части неравенства на $(v_2 + 60)$, не меняя знак неравенства. $120v_2 \le 72 \cdot (v_2 + 60)$

Раскроем скобки и найдем $v_2$: $120v_2 \le 72v_2 + 72 \cdot 60$ $120v_2 \le 72v_2 + 4320$ $120v_2 - 72v_2 \le 4320$ $48v_2 \le 4320$ $v_2 \le \frac{4320}{48}$ $v_2 \le 90$

Таким образом, мы получили два условия для скорости на второй половине пути: 1. Скорость была увеличена: $v_2 > 60$ км/ч. 2. Средняя скорость не превышала 72 км/ч: $v_2 \le 90$ км/ч.

Объединяя эти условия, получаем, что скорость поезда во второй половине пути $v_2$ удовлетворяет неравенству $60 < v_2 \le 90$.

Ответ: Скорость поезда во второй половине пути могла быть больше 60 км/ч, но не более 90 км/ч.