Номер 1057, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1057, страница 233.

1057. Найдите положительные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{l}3\left(y-1\right)-4\left(y+8\right)<5\left(y+5\right)\\ 1,2\left(1+5y\right)-0,2<5\left(1-3y\right)-3y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3y-3-4y-32<5y+25\\ 1,2+6y-0,2<5-15y-3y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-y-5y<25+35\\ 6y+18y<5-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6y<60\\ 24y<4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y>-10\\ y<\frac{1}{6}\end{array}\right.$

$y>0\text{ при }y\in \left(0; \frac{1}{6}\right)y\; >\; 0\; \backslash text\{\; при\; \}\; y\; \backslash in\; (0;\; \backslash frac\{1\}\{6\})$

Ответ: $\left(0; \frac{1}{6}\right)(0;\; \backslash frac\{1\}\{6\})$

 

б) $\left\{\begin{array}{l}15\left(y-4\right)-14\left(y-3\right)<y\left(y-9\right)-y^2\\ \frac{5-y}{3}-y>14-\frac{2-y}{6} \mathrm{/}·6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}15y-60-14y+42<y^2-9y-y^2\\ 2\left(5-y\right)-6y>84-\left(2-y\right)\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y-18<-9y\\ 10-2y-6y>84-2+y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y+9y<18\\ -8y-y>84-2-10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}10y<18\\ -9y>72\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y<\mathrm{1,8}\\ y<-8\end{array}\right.$

$y\in \left(-\mathrm{\infty }; -8\right)y\; \backslash in\; (-\backslash infty;-8)$

Ответ: положительных значений у нет

 

в) $\left\{\begin{array}{l}\left(2y-1\right)\left(3y+2\right)-6y\left(y-4\right)<48\\ \frac{y-1}{8}-\frac{6y+1}{4}-1<0 /·8\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}6y^2+4y-3y-2-6y^2+24y<48\\ y-1-2\left(6y+1\right)-8<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}25y<50\\ y-1-12y-2-8<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y<2\\ -11y-11<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<2\\ -11y<11\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<2\\ y>-1\end{array}\right.$

y ∈ (-1; 2)

y>0 при y ∈ (0; 2)

Ответ: (0; 2)

a)

Решим первое неравенство системы:
$3(y - 1) - 4(y + 8) < 5(y + 5)$
Раскроем скобки:
$3y - 3 - 4y - 32 < 5y + 25$
Приведем подобные слагаемые:
$-y - 35 < 5y + 25$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа в другую:
$-35 - 25 < 5y + y$
$-60 < 6y$
$y > -10$

Решим второе неравенство системы:
$1.2(1 + 5y) - 0.2 < 5(1 - 3y) - 3y$
Раскроем скобки:
$1.2 + 6y - 0.2 < 5 - 15y - 3y$
Приведем подобные слагаемые:
$1 + 6y < 5 - 18y$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа в другую:
$6y + 18y < 5 - 1$
$24y < 4$
$y < \frac{4}{24}$
$y < \frac{1}{6}$

Мы получили систему из двух условий: $y > -10$ и $y < \frac{1}{6}$. Пересечением этих решений является интервал $(-10; \frac{1}{6})$.
По условию задачи, мы ищем только положительные значения $y$, то есть $y > 0$.
Найдем пересечение интервалов $(-10; \frac{1}{6})$ и $(0; +\infty)$.
Итоговое решение: $0 < y < \frac{1}{6}$.

Ответ: $y \in (0; \frac{1}{6})$.

б)

Решим первое неравенство системы:
$15(y - 4) - 14(y - 3) < y(y - 9) - y^2$
Раскроем скобки:
$15y - 60 - 14y + 42 < y^2 - 9y - y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$y - 18 < -9y$
$y + 9y < 18$
$10y < 18$
$y < 1.8$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{5 - y}{3} - y > 14 - \frac{2 - y}{6}$
Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$6 \cdot \frac{5 - y}{3} - 6 \cdot y > 6 \cdot 14 - 6 \cdot \frac{2 - y}{6}$
$2(5 - y) - 6y > 84 - (2 - y)$
$10 - 2y - 6y > 84 - 2 + y$
$10 - 8y > 82 + y$
$10 - 82 > y + 8y$
$-72 > 9y$
$y < -8$

Мы получили систему из двух условий: $y < 1.8$ и $y < -8$. Пересечением этих решений является $y < -8$.
По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$, то есть $y > 0$.
Множества $y < -8$ и $y > 0$ не имеют пересечения.

Ответ: положительных значений $y$, удовлетворяющих системе, не существует.

в)

Решим первое неравенство системы:
$(2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48$
Раскроем скобки:
$(6y^2 + 4y - 3y - 2) - (6y^2 - 24y) < 48$
$6y^2 + y - 2 - 6y^2 + 24y < 48$
Приведем подобные слагаемые:
$25y - 2 < 48$
$25y < 50$
$y < 2$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0$
Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей:
$8 \cdot \frac{y - 1}{8} - 8 \cdot \frac{6y + 1}{4} - 8 \cdot 1 < 0$
$(y - 1) - 2(6y + 1) - 8 < 0$
$y - 1 - 12y - 2 - 8 < 0$
$-11y - 11 < 0$
$-11y < 11$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$y > -1$

Мы получили систему из двух условий: $y < 2$ и $y > -1$. Пересечением этих решений является интервал $(-1; 2)$.
По условию задачи, мы ищем только положительные значения $y$, то есть $y > 0$.
Найдем пересечение интервалов $(-1; 2)$ и $(0; +\infty)$.
Итоговое решение: $0 < y < 2$.

Ответ: $y \in (0; 2)$.