Номер 1050, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1050, страница 231.

1050. С турбазы в город, отстоящий на расстояние 24 км, вышел первый турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?

Пусть x км/ч - скорость второго туриста, тогда время, которое он потратит на весь путь равно $\frac{24}{x}\text{ч}$., а время, которое потратит первый турист на весь путь равно $\frac{24}{x}=6\text{ч}$. Зная, что второй турист вышел спустя 2ч вслед за первым и он должен догнать первого до его прихода в город, составим и решим неравенство:

$$\begin{gathered} \frac{24}{x}+2<6 \\ \frac{24}{x}<4 /·x \\ 24<4x \\ x>6 \end{gathered}$$

Ответ: более 6 км/ч

Для решения задачи определим все известные и неизвестные величины:
$S = 24$ км — расстояние от турбазы до города.
$v_1 = 4$ км/ч — скорость первого туриста.
$v_2$ — искомая скорость второго туриста.
$\Delta t = 2$ ч — время, на которое первый турист вышел раньше второго.

1. Найдем общее время, которое потребуется первому туристу, чтобы дойти до города. Это время определит крайний срок, до которого должна произойти встреча.
$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 6$ часов.

2. Второй турист отправляется в путь спустя 2 часа. За это время первый турист успевает уйти вперед. Найдем расстояние, которое прошел первый турист за эти 2 часа (фора):
$S_{фора} = v_1 \cdot \Delta t = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8$ км.

3. Теперь рассмотрим "граничный" случай: второй турист догоняет первого в тот самый момент, когда тот приходит в город.
Первый турист будет в городе через 6 часов после своего старта.
Второй турист стартует на 2 часа позже, значит, у него есть $6 - 2 = 4$ часа, чтобы дойти до города.
Чтобы успеть, он должен преодолеть все расстояние $S = 24$ км за 4 часа. Найдем его скорость для этого случая:
$v_{2,граничная} = \frac{S}{t_1 - \Delta t} = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 6$ км/ч.

При скорости 6 км/ч второй турист догонит первого точно у входа в город. По условию задачи, он должен догнать его "до его прихода в город", то есть встреча должна произойти на расстоянии, меньшем 24 км. Для этого скорость второго туриста должна быть строго больше, чем вычисленная граничная скорость.

Проверим это с помощью неравенства.
Пусть $t$ — время, прошедшее с момента выхода второго туриста до их встречи. Скорость сближения туристов равна $(v_2 - v_1)$. Время до встречи:
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_2 - v_1} = \frac{8}{v_2 - 4}$.
За это время первый турист пройдет от начальной точки расстояние $S_{встречи} = v_1 \cdot (t_{встречи} + \Delta t)$.
Это расстояние должно быть строго меньше 24 км:
$v_1 \cdot (\frac{8}{v_2 - 4} + 2) < 24$
$4 \cdot (\frac{8 + 2(v_2 - 4)}{v_2 - 4}) < 24$
$\frac{8 + 2v_2 - 8}{v_2 - 4} < 6$
$\frac{2v_2}{v_2 - 4} < 6$
Так как для обгона $v_2 > 4$, знаменатель $(v_2 - 4)$ положителен. Умножим обе части на него:
$2v_2 < 6(v_2 - 4)$
$2v_2 < 6v_2 - 24$
$24 < 4v_2$
$6 < v_2$

Таким образом, скорость второго туриста должна быть больше 6 км/ч.
Ответ: Скорость второго туриста должна быть больше 6 км/ч.