Номер 1052, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1052, страница 231.

1052. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его периметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом сантиметров?

Пусть x см – боковая сторона равнобедренного треугольника

$P_{ABC}=2x+20\le 46P\_\{ABC\}=2x+20\; \backslash le\; 46$см.

Используя неравенство треугольника составим и решим систему неравенств

$\left\{\begin{array}{l}2x+20\le 46\\ 2x>20\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\le 26\\ x>10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\le 13\\ x>10\end{array}\right.$

Ответ: 11 см, 12 см, 13 см

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим длину его основания как $a$, а длину боковой стороны как $b$.

Из условия задачи известно, что:

1. Длина основания $a = 20$ см.

2. Периметр $P$ не превосходит 46 см, то есть $P \le 46$ см.

3. Длина боковой стороны $b$ — целое число.

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по формуле $P = a + 2b$. Подставив известные значения, получим неравенство:

$20 + 2b \le 46$

Решим это неравенство относительно $b$:

$2b \le 46 - 20$

$2b \le 26$

$b \le 13$

Таким образом, длина боковой стороны не может быть больше 13 см.

Также, согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Для равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковыми сторонами $b$ наиболее важным является условие, что сумма длин двух боковых сторон больше длины основания:

$b + b > a$

Подставим значение основания $a = 20$ см:

$2b > 20$

$b > 10$

Итак, мы получили, что длина боковой стороны $b$ должна удовлетворять двойному неравенству:

$10 < b \le 13$

Поскольку по условию задачи $b$ должно быть целым числом, возможными значениями для длины боковой стороны являются целые числа, которые больше 10 и меньше или равны 13. Такими числами являются 11, 12 и 13.

Все эти значения удовлетворяют обоим условиям (и по периметру, и по неравенству треугольника).
При $b=11$ см, периметр $P=20+2(11)=42$ см, что не превосходит 46 см.
При $b=12$ см, периметр $P=20+2(12)=44$ см, что не превосходит 46 см.
При $b=13$ см, периметр $P=20+2(13)=46$ см, что не превосходит 46 см.

Ответ: Длина боковой стороны может быть 11 см, 12 см или 13 см.