Номер 1051, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1051, страница 231.

1051. От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км (рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через ферму по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?

Пусть х км/ч - скорость мотоциклиста, тогда время, которое он потратил на дорогу от деревни до станции равно $\frac{60}{x}\backslash frac\{60\}\{x\}$ч. Время, которое потратил на путь от фермы до станции велосипедист равно $\frac{40}{12}=\frac{10}{3}\backslash frac\{40\}\{12\}=\backslash frac\{10\}\{3\}$ч. Чтобы мотоциклисту догнать велосипедиста до его приезда на станцию, нужно, что бы его время было меньше времени велосипедиста, т.e.

$$\begin{gathered} \frac{60}{x}<\frac{10}{3} /·3x \\ 60·3<10x \\ x>\frac{180}{10} \\ x>18 \end{gathered}$$

Ответ: более 18км/ч

Для решения этой задачи нужно определить, при какой скорости мотоциклиста время, которое ему потребуется, чтобы догнать велосипедиста, будет меньше времени, за которое велосипедист доедет до станции. Решим задачу по шагам.

1. Найдем время, за которое велосипедист доедет от фермы до станции.

Велосипедисту необходимо преодолеть расстояние от фермы до станции, равное 40 км. Его скорость составляет 12 км/ч. Время $t_в$, которое потребуется велосипедисту на этот путь, вычисляется по формуле:
$t_в = \frac{S}{v} = \frac{40 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{10}{3} \text{ часа}$.
Это составляет $3 \frac{1}{3}$ часа, или 3 часа и 20 минут.
Согласно условию, мотоциклист должен догнать велосипедиста до его приезда на станцию. Следовательно, время, через которое они встретятся ($t_{встречи}$), должно быть строго меньше времени, которое велосипедист потратит на дорогу до станции:
$t_{встречи} < \frac{10}{3} \text{ часа}$.

2. Составим уравнение для времени встречи.

Мотоциклист и велосипедист начинают движение одновременно. В начальный момент времени мотоциклист находится в деревне, а велосипедист — на ферме. Начальное расстояние между ними равно расстоянию от деревни до фермы, то есть 20 км.
Поскольку мотоциклист догоняет велосипедиста, их скорость сближения $v_{сбл}$ будет равна разности их скоростей. Обозначим искомую скорость мотоциклиста как $v_м$.
$v_{сбл} = v_м - v_в = v_м - 12$ км/ч.
Для того чтобы мотоциклист мог догнать велосипедиста, его скорость должна быть больше скорости велосипедиста, то есть $v_м > 12$ км/ч.
Время до встречи ($t_{встречи}$) можно рассчитать, разделив начальное расстояние на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{S_{начальное}}{v_{сбл}} = \frac{20}{v_м - 12}$.

3. Найдем требуемую скорость мотоциклиста.

Теперь объединим два полученных условия. Подставим выражение для времени встречи во временное неравенство:
$\frac{20}{v_м - 12} < \frac{10}{3}$
Так как мы установили, что $v_м > 12$, знаменатель $(v_м - 12)$ является положительным числом. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $3 \cdot (v_м - 12)$, не меняя при этом знака неравенства:
$20 \cdot 3 < 10 \cdot (v_м - 12)$
$60 < 10v_м - 120$
Перенесем 120 в левую часть неравенства:
$60 + 120 < 10v_м$
$180 < 10v_м$
Разделим обе части на 10:
$18 < v_м$
Таким образом, скорость мотоциклиста должна быть больше 18 км/ч.

Ответ: Скорость мотоциклиста должна быть больше 18 км/ч.