Номер 1055, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1055, страница 232.

1055. Решите двойное неравенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}-9<3x<18 \\ -3<x<6 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-3;6\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}1<\frac{2x-1}{2}<2 /·2 \\ 2<2x-1<4 \\ 3<2x<5 \\ 1,5<x<2,5 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(1,5;2,5\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3\le 5x-1\le 4 \\ 4\le 5x\le 5 \\ 0,8\le x\le 1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left[0,8;1\right]$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}0\le \frac{1-x}{3}\le 1 /·3 \\ 0\le 1-x\le 3 \\ -1\le -x\le 2 \\ -2\le x\le 1 \end{gathered}$$

Ответ: $\left[-2;1\right]$

а) Чтобы решить двойное неравенство $-9 < 3x < 18$, разделим все его части на 3. Поскольку 3 — положительное число, знаки неравенства не изменяются:
$\frac{-9}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{18}{3}$
Выполнив деление, получаем:
$-3 < x < 6$
Ответ: $(-3; 6)$

б) Для решения неравенства $1 < \frac{2x-1}{2} < 2$ сначала избавимся от знаменателя, умножив все части на 2:
$1 \cdot 2 < \frac{2x-1}{2} \cdot 2 < 2 \cdot 2$
$2 < 2x - 1 < 4$
Теперь прибавим 1 ко всем частям, чтобы выделить слагаемое с $x$:
$2 + 1 < 2x - 1 + 1 < 4 + 1$
$3 < 2x < 5$
Наконец, разделим все части на 2:
$\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$
Что можно записать в виде десятичных дробей:
$1,5 < x < 2,5$
Ответ: $(1,5; 2,5)$

в) Чтобы решить неравенство $3 \le 5x - 1 \le 4$, сначала прибавим 1 ко всем его частям:
$3 + 1 \le 5x - 1 + 1 \le 4 + 1$
$4 \le 5x \le 5$
Теперь разделим все части на 5:
$\frac{4}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{5}{5}$
Что равносильно:
$0,8 \le x \le 1$
Ответ: $[0,8; 1]$

г) Для решения неравенства $0 \le \frac{1-x}{3} \le 1$ сначала умножим все части на 3:
$0 \cdot 3 \le \frac{1-x}{3} \cdot 3 \le 1 \cdot 3$
$0 \le 1 - x \le 3$
Затем вычтем 1 из всех частей:
$0 - 1 \le 1 - x - 1 \le 3 - 1$
$-1 \le -x \le 2$
Чтобы найти $x$, умножим все части на -1. При этом необходимо изменить знаки неравенства на противоположные:
$(-1) \cdot (-1) \ge (-x) \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$
$1 \ge x \ge -2$
Запишем результат в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-2 \le x \le 1$
Ответ: $[-2; 1]$