Номер 1060, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1060, страница 233.

1060. При каких значениях b уравнение имеет два корня, принадлежащие интервалу (–5; 5)?

x² – (2b – 2)x + b² – 2b = 0

$$\begin{gathered} x^2-\left(2b-2\right)x+b^2-2b=0 \\ D={\left(-\left(2b-2\right)\right)}^2-4·1\left(b^2-2b\right)= \\ =4b^2-8b+4-4b^2+8b=4 \\ x=\frac{2b-2\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{2b-2\pm 2}{2} \\ {x}_1=\frac{2b}{2}=b; x_2=\frac{2b-4}{2}=b-2 \\ \left\{\begin{array}{l}-5<b<5\\ -5<b-2<5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-5<b<5\\ -3<b<7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при -3<b<5

Рассмотрим данное квадратное уравнение: $x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0$.

Для решения задачи необходимо найти значения параметра $b$, при которых оба корня этого уравнения принадлежат интервалу $(-5; 5)$.

Сначала найдем корни уравнения. Для этого вычислим его дискриминант $D$. В уравнении вида $ax^2+Bx+C=0$ имеем коэффициенты $a=1$, $B = -(2b-2)$ и $C = b^2 - 2b$.

Дискриминант равен:

$D = B^2 - 4aC = (-(2b - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 2b) = (4b^2 - 8b + 4) - (4b^2 - 8b) = 4$.

Поскольку дискриминант $D = 4$ является положительным числом, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $b$.

Найдем эти корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2b - 2 - \sqrt{4}}{2} = \frac{2b - 2 - 2}{2} = \frac{2b - 4}{2} = b - 2$.

$x_2 = \frac{2b - 2 + \sqrt{4}}{2} = \frac{2b - 2 + 2}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Корнями уравнения являются $x_1 = b - 2$ и $x_2 = b$.

По условию задачи, оба корня должны лежать в интервале $(-5; 5)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два двойных неравенства:

1) $-5 < x_1 < 5$, то есть $-5 < b - 2 < 5$.

2) $-5 < x_2 < 5$, то есть $-5 < b < 5$.

Решим первое неравенство. Прибавив 2 ко всем его частям, получим:

$-5 + 2 < b < 5 + 2$, что равносильно $-3 < b < 7$.

Таким образом, мы получили систему из двух условий для $b$:

$-3 < b < 7$

$-5 < b < 5$

Чтобы найти итоговое множество значений $b$, нужно найти пересечение этих двух интервалов: $(-3; 7) \cap (-5; 5)$.

Пересечением является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $b \in (-3; 5)$.