Номер 1058, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 1058, страница 233.

1058. Найдите отрицательные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

а) $\left\{\begin{array}{c}\frac{5y-1}{6}-\frac{2y-1}{2}>0 \mathrm{/}·6\\ 1-\frac{y+4}{3}<0 \mathrm{/}·3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}5y-1-3\left(2y-1\right)>0\\ 3-\left(y+4\right)<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}5y-1-6y+3>0\\ 3-y-4<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}-y+2>0\\ -y-1<0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}-y>-2\\ -y<1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y<2\\ y>-1\end{array}\right.$

y ∈ (-1; 2)

y<0 при y ∈ (-1; 0)

Ответ: (-1; 0)

б) $\left\{\begin{array}{l}\left(y+6\right)\left(5-y\right)+y\left(y-1\right)>0\\ 0,3y\left(10y+20\right)-3y^2+30>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5y-y^2+30-6y+y^2-y>0\\ 3y^2+6y-3y^2+30>0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-y-y>-30\\ 6y>-30\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-2y>-30\\ y>-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y<15\\ y>-5\end{array}\right.$

y ∈ (-5; 15)

y<0 при y ∈ (-5; 0)

Ответ: (-5; 0)

а)

Необходимо решить систему неравенств и найти отрицательные значения $y$.

$$ \begin{cases} \frac{5y-1}{6} - \frac{2y-1}{2} > 0, \\ 1 - \frac{y+4}{3} < 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{5y-1}{6} - \frac{2y-1}{2} > 0 $$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$$ \frac{5y-1 - 3(2y-1)}{6} > 0 $$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$$ \frac{5y-1 - 6y + 3}{6} > 0 $$ $$ \frac{-y + 2}{6} > 0 $$

Так как знаменатель положителен, знак неравенства определяется знаком числителя:

$$ -y + 2 > 0 $$ $$ 2 > y \quad \text{или} \quad y < 2 $$

2. Решим второе неравенство:

$$ 1 - \frac{y+4}{3} < 0 $$

Перенесем дробь в правую часть неравенства:

$$ 1 < \frac{y+4}{3} $$

Умножим обе части на 3:

$$ 3 < y+4 $$

Вычтем 4 из обеих частей:

$$ -1 < y $$

3. Найдем решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств: $y < 2$ и $y > -1$.

Таким образом, решением системы является интервал $y \in (-1; 2)$.

4. Согласно условию, нам необходимо найти только отрицательные значения $y$, то есть те, которые удовлетворяют условию $y < 0$.

Найдем пересечение интервала $(-1; 2)$ и множества $(-\infty; 0)$.

Пересечением является интервал $(-1; 0)$.

Ответ: $y \in (-1; 0)$.

б)

Необходимо решить систему неравенств и найти отрицательные значения $y$.

$$ \begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0, \\ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$$ (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 $$

Раскроем скобки:

$$ (5y - y^2 + 30 - 6y) + (y^2 - y) > 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (-y^2 + y^2) + (5y - 6y - y) + 30 > 0 $$ $$ -2y + 30 > 0 $$

Решим полученное линейное неравенство:

$$ 30 > 2y $$ $$ 15 > y \quad \text{или} \quad y < 15 $$

2. Решим второе неравенство:

$$ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0 $$

Раскроем скобки:

$$ 3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (3y^2 - 3y^2) + 6y + 30 > 0 $$ $$ 6y + 30 > 0 $$

Решим полученное линейное неравенство:

$$ 6y > -30 $$ $$ y > -5 $$

3. Найдем решение системы, которое является пересечением решений обоих неравенств: $y < 15$ и $y > -5$.

Таким образом, решением системы является интервал $y \in (-5; 15)$.

4. Согласно условию, нам необходимо найти только отрицательные значения $y$, то есть те, которые удовлетворяют условию $y < 0$.

Найдем пересечение интервала $(-5; 15)$ и множества $(-\infty; 0)$.

Пересечением является интервал $(-5; 0)$.

Ответ: $y \in (-5; 0)$.