Номер 1082, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1082, страница 240.

1082. Используя рисунок 52 на с. 237, укажите область определения и множество значений каждой из функций

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=x^2 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=x^3 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\sqrt{x}, x\ge 0 \\ D\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }\left) \\ E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid } \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; +\mathrm{\infty }\right) \\ E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \end{gathered}$$

y = x²

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $y = x^2$ является квадратичной. Возведение в квадрат — это операция, которая определена для любого действительного числа. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет. Поэтому аргумент $x$ может принимать абсолютно любое действительное значение.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, что записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), то и значения функции $y$ будут всегда больше или равны нулю. Наименьшее значение функции равно 0 (достигается при $x = 0$), а верхнего предела не существует, так как при неограниченном увеличении $|x|$ значение $x^2$ также неограниченно возрастает.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ — это луч $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

y = x³

Область определения функции $y = x^3$ (кубическая функция) также является множеством всех действительных чисел. Операция возведения в третью степень определена для любого действительного числа $x$ без каких-либо ограничений.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции $y = x^3$. В отличие от возведения в квадрат, результат возведения в нечетную степень (в данном случае в куб) может быть как положительным (если $x > 0$), так и отрицательным (если $x < 0$), а также нулем (если $x = 0$). По мере того как $x$ пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, $y$ также принимает все возможные действительные значения.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

$y = \sqrt{x}$

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ (функция арифметического квадратного корня). В области действительных чисел корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа. Следовательно, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть больше или равно нулю: $x \ge 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество всех неотрицательных чисел, то есть луч $[0; +\infty)$.

Множество значений функции $y = \sqrt{x}$. По определению, арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Это означает, что результат извлечения корня $y$ всегда будет неотрицательным: $y \ge 0$. Наименьшее значение равно 0 (при $x=0$), а с ростом $x$ значение $y$ неограниченно возрастает.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ также является лучом $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

$y = |x|$

Область определения функции $y = |x|$ (модуль или абсолютное значение). Операция взятия модуля определена для любого действительного числа $x$.
Таким образом, область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции $y = |x|$. Модуль числа по определению — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, и это расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, $y = |x| \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение равно 0 (при $x=0$). Функция может принимать любое положительное значение.
Таким образом, множество значений функции $E(y)$ — это множество всех неотрицательных чисел, то есть луч $[0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.