Номер 1092, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функция. Область определения и множество значений функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1092, страница 242.

1092. (Задача-исследование.) Изменение температуры воды р (°С) в баке как функции времени t (мин) описано с помощью формулы:

1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени.

2) Постройте график функции p = f(t).

3) Обсудите, какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией p = f(t), в каждом из промежутков времени [0; 40); [40; 60]; (60; 150].

$p=\left\{\begin{array}{c}2t+20,\text{ если }0\le t\le 40,\\ 100,\text{ если }40\le t\le 60,\\ -\frac{2}{3}t+140,\text{ если }60<t\le 150\end{array}\right.$

1) В течение 40мин вода нагревалась;

Следующие 20мин вода кипела;

В оставшееся время (90мин) вода остывала

2)

t, мин	0	20	40	60	90	120	150
P,°C	20	60	100	100	80	60	40

3) [0; 40) – нагревание;

[40; 60] - кипение;

(60; 150] - остывание

1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени.

Для анализа изменения температуры рассмотрим каждый временной промежуток отдельно, используя заданную кусочно-линейную функцию $p(t)$.

• На промежутке времени $0 \le t < 40$ температура описывается формулой $p(t) = 2t + 20$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k=2$, что означает равномерное повышение температуры.
  В начальный момент времени $t=0$: $p(0) = 2 \cdot 0 + 20 = 20$ °C.
  В конце промежутка, при $t \to 40$: $p(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100$ °C.
  Таким образом, температура линейно возрастала с 20 °C до 100 °C.
• На промежутке времени $40 \le t \le 60$ температура описывается формулой $p(t) = 100$. Это функция-константа.
  На протяжении всего этого периода температура воды оставалась постоянной и равной 100 °C.
• На промежутке времени $60 < t \le 150$ температура описывается формулой $p(t) = -\frac{2}{3}t + 140$. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $k = -\frac{2}{3}$, что означает равномерное понижение температуры.
  В начале этого промежутка, при $t \to 60$: $p(60) = -\frac{2}{3} \cdot 60 + 140 = -40 + 140 = 100$ °C.
  В конечный момент времени $t=150$: $p(150) = -\frac{2}{3} \cdot 150 + 140 = -100 + 140 = 40$ °C.
  Таким образом, температура линейно убывала со 100 °C до 40 °C.

Ответ: На промежутке времени $[0; 40)$ температура воды равномерно возрастала с 20°C до 100°C. На промежутке $[40; 60]$ температура была постоянной и составляла 100°C. На промежутке $(60; 150]$ температура равномерно убывала со 100°C до 40°C.

2) Постройте график функции $p = f(t)$.

График функции $p = f(t)$ строится в системе координат, где ось абсцисс — это время $t$ (мин), а ось ординат — температура $p$ (°C). График представляет собой ломаную линию, состоящую из трёх участков, так как функция задана на трёх промежутках.

1. Для промежутка $0 \le t < 40$ строим график функции $p = 2t + 20$. Это отрезок прямой. Найдём его концы:
   • При $t=0$, $p = 20$. Начальная точка — $(0, 20)$.
   • При $t=40$, $p = 100$. Конечная точка — $(40, 100)$.
2. Для промежутка $40 \le t \le 60$ строим график функции $p=100$. Это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(40, 100)$ и $(60, 100)$.
3. Для промежутка $60 < t \le 150$ строим график функции $p = -\frac{2}{3}t + 140$. Это отрезок прямой. Найдём его концы:
   • При $t=60$, $p = 100$. Начальная точка — $(60, 100)$.
   • При $t=150$, $p = 40$. Конечная точка — $(150, 40)$.

Функция непрерывна, так как значения в точках "стыковки" $t=40$ и $t=60$ совпадают.

Ответ: График функции — это ломаная линия, проходящая через точки с координатами $(0, 20)$, $(40, 100)$, $(60, 100)$ и $(150, 40)$.

3) Обсудите, какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией $p = f(t)$, в каждом из промежутков времени [0; 40); [40; 60]; (60; 150].

• Промежуток [0; 40): В этот период происходит нагревание воды. Начальная температура воды составляет 20°C (возможно, комнатная температура). Воду нагревают с постоянной мощностью, что приводит к равномерному росту температуры со скоростью 2°C в минуту. Через 40 минут вода достигает температуры кипения 100°C.
• Промежуток [40; 60]: В этот период температура воды остается постоянной на уровне 100°C. Это соответствует процессу кипения. Несмотря на продолжающийся подвод тепла (необходимого для поддержания кипения), температура не растет, а вся энергия расходуется на фазовый переход — превращение воды в пар. Этот процесс длится 20 минут.
• Промежуток (60; 150]: В момент времени $t=60$ минут нагреватель выключают, и вода начинает остывать. Температура равномерно снижается со 100°C до 40°C за 90 минут. Это процесс охлаждения воды в окружающей среде.

Ответ: Физический процесс состоит из трёх этапов: 1) нагрев воды от 20°C до температуры кипения 100°C в течение 40 минут; 2) кипение воды при постоянной температуре 100°C в течение 20 минут; 3) остывание воды от 100°C до 40°C в течение 90 минут.