Страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1102. На рисунке 66 изображён график функции y = g(x), где –10 ≤ х ≤ 10. Сколько нулей имеет функция?

Укажите:

а) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

б) промежутки, на которых функция убывает.

y=g(x), где -10≤x≤10

Функция имеет 4 нуля: -8; -3; 4; 8

а) у<0 при x∈[-10;-8); (-3;4); (8;10]

б) функция убывает на промежутках [-5;0] и [6;10]

Проанализируем график функции $y = g(x)$ на промежутке $x \in [-10, 10]$ и последовательно ответим на все вопросы.

Первый вопрос — о количестве нулей функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $g(x) = 0$. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). На данном графике мы видим, что кривая пересекает ось $Ox$ в пяти точках. Их абсциссы: $x = -7$, $x = -3$, $x = 3$, $x = 5$ и $x = 9$.

Ответ: функция имеет 5 нулей.

а) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($g(x) < 0$) на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси абсцисс $Ox$. Используя найденные ранее нули функции, определим эти промежутки:

• От $x = -10$ до $x = -7$. Поскольку в точке $x = -10$ значение функции отрицательно, а в точке $x = -7$ равно нулю, этот промежуток записывается как $[-10, -7)$.
• Между нулями $x = -3$ и $x = 3$. На этом интервале график находится под осью, поэтому промежуток: $(-3, 3)$.
• Между нулями $x = 5$ и $x = 9$. На этом интервале график также находится под осью, поэтому промежуток: $(5, 9)$.

Ответ: $x \in [-10, -7) \cup (-3, 3) \cup (5, 9)$.

б) промежутки, на которых функция убывает.

Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. На графике это участки, где кривая идет вниз при движении слева направо. Такие участки находятся между точками локального максимума ("вершинами") и точками локального минимума ("впадинами").

По графику определяем координаты точек экстремумов:

• Точка локального максимума: $x = -5$.
• Точка локального минимума: $x = 0$.
• Точка локального максимума: $x = 4$.
• Точка локального минимума: $x = 7$.

Следовательно, функция убывает на промежутках от точки максимума до точки минимума:

• От $x = -5$ до $x = 0$. Промежуток убывания: $[-5, 0]$.
• От $x = 4$ до $x = 7$. Промежуток убывания: $[4, 7]$.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-5, 0]$ и $[4, 7]$.

1103. Для функции y = f(x), график которой изображён на рисунке 67, укажите:

1) D(f);

2) E(f);

3) нули функции;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки монотонности;

6) f(–3) и f(1).

a) 1) D(f)=[-6; 6]

2) E(f)=[-6; 6]

3) у=0 при х=-5; х=1

4) у>0 при х∈(-5;1)

у<0 при х∈[-6; -5) и (1; 6]

5) функция возрастает на промежутках [-6;-2] и [4;6]; функция убивает на промежутке [-2;4]

6) f(-3)=5; f(1)=0

б) 1) D(f)=[-6; 5]

2) E(f)=[-4; 6]

3) у=о при х=-2,9; x=2; x=4

4) у>0 при х∈[-6;-2,9); (2;4)

у<0 при х∈(-2,9; 2); (4;5]

5) функция возрастает на промежутках [-6;-4] и [-1;3); функция убывай на промежутках [-4;-1] и [3;5]

6) f(-3)=0,5; f(1)=-2

в) 1) D(f)=[-6; 6]

2) E(f)=[-5; 4]

3) y=0 при x=-5; x=-1; x=2

4) у>0 при х∈(-5;-1) и (2;6]

у<0 при х∈[-6;-5) и (-1;2)

5) функция возрастает на промежутках [-6;-3] и [0;6]; функция убывает на промежутке [-3;0]

6) f(-3)=3; f(1)=-1

а)

1) D(f): Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Это проекция графика на ось абсцисс ($Ox$). По графику видно, что функция определена для всех $x$ от -4 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-4; 5]$.

2) E(f): Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Это проекция графика на ось ординат ($Oy$). Наименьшее значение функции, которое достигается в точке $x=4$, равно -2. Наибольшее значение, достигаемое в точке $x=-2$, равно 3.
Ответ: $E(f) = [-2; 3]$.

3) Нули функции: Это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. График пересекает ось абсцисс в точке $x=1$ и в точке, абсцисса которой приблизительно равна -3,7.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 \approx -3,7$.

4) Промежутки знакопостоянства: Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (больше или меньше нуля).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на интервале между нулями функции.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках от левой границы области определения до первого нуля и от второго нуля до правой границы области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3,7; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -3,7) \cup (1; 5]$.

5) Промежутки монотонности: Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.

• Функция возрастает, когда её график идёт вверх при движении слева направо. Это происходит на отрезках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=4$ до $x=5$.
• Функция убывает, когда её график идёт вниз. Это происходит на отрезке от $x=-2$ до $x=4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[4; 5]$; убывает на промежутке $[-2; 4]$.

6) f(-3) и f(1): Чтобы найти значение функции в точке, нужно найти на графике точку с заданной абсциссой и определить её ординату.

• Для $x=-3$, находим на графике точку с этой абсциссой. Её ордината равна 2.
• Для $x=1$, точка лежит на оси абсцисс, следовательно, её ордината равна 0.

Ответ: $f(-3) = 2$, $f(1) = 0$.

б)

1) D(f): Область определения функции. График существует для $x$ от -4 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-4; 5]$.

2) E(f): Область значений функции. Наименьшее значение $y=-2$ (при $x=1$), наибольшее значение $y=4$ (при $x=-2$).
Ответ: $E(f) = [-2; 4]$.

3) Нули функции: Абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что это $x=-1$, $x=3$ и $x=5$.
Ответ: $x = -1, x = 3, x = 5$.

4) Промежутки знакопостоянства:

• $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$): при $x$ от -4 до -1 и от 3 до 5.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$): при $x$ от -1 до 3.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [-4; -1) \cup (3; 5)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 3)$.

5) Промежутки монотонности:

• Возрастает (график идёт вверх): на отрезках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=1$ до $x=4$.
• Убывает (график идёт вниз): на отрезках от $x=-2$ до $x=1$ и от $x=4$ до $x=5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[1; 4]$; убывает на промежутках $[-2; 1]$ и $[4; 5]$.

6) f(-3) и f(1):

• При $x=-3$, точка находится на отрезке, соединяющем $(-4, 2)$ и $(-2, 4)$. Посередине этого отрезка по $x$ находится точка с абсциссой -3, её ордината будет 3.
• При $x=1$, график проходит через точку $(1, -2)$.

Ответ: $f(-3) = 3$, $f(1) = -2$.

в)

1) D(f): Область определения функции. График существует для $x$ от -4 до 5 включительно.
Ответ: $D(f) = [-4; 5]$.

2) E(f): Область значений функции. Наименьшее значение $y=-1$ (при $x=1$), наибольшее значение $y=3$ (при $x=5$).
Ответ: $E(f) = [-1; 3]$.

3) Нули функции: Абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. Из графика видно, что это $x=-3$, $x=0$ и $x=2$.
Ответ: $x = -3, x = 0, x = 2$.

4) Промежутки знакопостоянства:

• $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$): при $x$ от -3 до 0 и от 2 до 5.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$): при $x$ от -4 до -3 и от 0 до 2.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 0) \cup (2; 5]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -3) \cup (0; 2)$.

5) Промежутки монотонности:

• Возрастает (график идёт вверх): на отрезках от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=1$ до $x=5$.
• Убывает (график идёт вниз): на отрезке от $x=-2$ до $x=1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[1; 5]$; убывает на промежутке $[-2; 1]$.

6) f(-3) и f(1):

• При $x=-3$, точка лежит на оси абсцисс, это один из нулей функции.
• При $x=1$, на графике находится точка локального минимума.

Ответ: $f(-3) = 0$, $f(1) = -1$.

1104. Начертите график какой-либо функции с областью определения [–3; 4] так, что бы эта функция:

а) возрастала на промежутке [–3; 0] и убывала на промежутке [0; 4];

б) убывала на промежутке [–3; 1] и возрастала на промежутке [1; 4].

D(f)=[-3;4]

а) функция возрастала на промежутке [-3;0] и убывала на промежутке [0;4]

б) убывала на промежутке [-3;1] и возрастала на промежутке [1;4]

а)

Требуется начертить график функции, которая определена на отрезке $[-3; 4]$, возрастает на промежутке $[-3; 0]$ и убывает на промежутке $[0; 4]$.

Из заданных условий следует, что в точке $x=0$ функция достигает своего максимума. В качестве примера такой функции можно выбрать квадратичную функцию, график которой является параболой. Для выполнения условий, ветви параболы должны быть направлены вниз, а её вершина должна находиться в точке с абсциссой $x=0$.

Общий вид уравнения такой параболы: $y = -ax^2 + c$, где $a > 0$. Для простоты выберем коэффициенты $a=1$ и $c=2$. Таким образом, мы получаем функцию $y = -x^2 + 2$, определённую на отрезке $[-3; 4]$.

Чтобы убедиться, что эта функция подходит, проверим её поведение с помощью производной: $y' = (-x^2 + 2)' = -2x$.
- На промежутке $[-3; 0]$ производная $y' = -2x \ge 0$, следовательно, функция возрастает.
- На промежутке $[0; 4]$ производная $y' = -2x \le 0$, следовательно, функция убывает.
Оба условия выполнены.

Для построения графика найдём значения функции в ключевых точках: на границах области определения и в точке максимума.
- На левой границе при $x=-3$: $y(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$. Координаты точки $(-3, -7)$.
- В точке максимума при $x=0$: $y(0) = -(0)^2 + 2 = 2$. Координаты вершины $(0, 2)$.
- На правой границе при $x=4$: $y(4) = -(4)^2 + 2 = -16 + 2 = -14$. Координаты точки $(4, -14)$.

График этой функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, -7)$, плавно поднимается до своей вершины в точке $(0, 2)$, а затем плавно опускается до точки $(4, -14)$.

Ответ: Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y = -x^2 + 2$ на отрезке $[-3; 4]$. Её график — это часть параболы с вершиной в точке $(0, 2)$, которая возрастает на $[-3; 0]$ и убывает на $[0; 4]$.

б)

Требуется начертить график функции, которая определена на отрезке $[-3; 4]$, убывает на промежутке $[-3; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; 4]$.

Из заданных условий следует, что в точке $x=1$ функция достигает своего минимума. Как и в предыдущем пункте, в качестве примера можно использовать квадратичную функцию. В этом случае ветви параболы должны быть направлены вверх, а её вершина должна находиться в точке с абсциссой $x=1$.

Общий вид уравнения такой параболы: $y = a(x-1)^2 + c$, где $a > 0$. Для простоты выберем коэффициенты $a=1$ и $c=-1$. Таким образом, мы получаем функцию $y = (x-1)^2 - 1$, определённую на отрезке $[-3; 4]$.

Проверим поведение этой функции с помощью производной: $y' = ((x-1)^2 - 1)' = 2(x-1)$.
- На промежутке $[-3; 1]$ производная $y' = 2(x-1) \le 0$, следовательно, функция убывает.
- На промежутке $[1; 4]$ производная $y' = 2(x-1) \ge 0$, следовательно, функция возрастает.
Оба условия выполнены.

Для построения графика найдём значения функции в ключевых точках: на границах области определения и в точке минимума.
- На левой границе при $x=-3$: $y(-3) = (-3-1)^2 - 1 = (-4)^2 - 1 = 16 - 1 = 15$. Координаты точки $(-3, 15)$.
- В точке минимума при $x=1$: $y(1) = (1-1)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$. Координаты вершины $(1, -1)$.
- На правой границе при $x=4$: $y(4) = (4-1)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Координаты точки $(4, 8)$.

График этой функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(-3, 15)$, плавно опускается до своей вершины в точке $(1, -1)$, а затем плавно поднимается до точки $(4, 8)$.

Ответ: Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y = (x-1)^2 - 1$ на отрезке $[-3; 4]$. Её график — это часть параболы с вершиной в точке $(1, -1)$, которая убывает на $[-3; 1]$ и возрастает на $[1; 4]$.

1105. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа:

а) –3 и 3;

б) –4, 0 и 2;

в) –3, 2, 1 и 5.

а) нули функции: -3 и 3

б) нули функции: -4; 0 и 2

в) нули функции: -3; 2; 1 и 5

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки, в которых он пересекает ось абсцисс (ось OX). Для построения графика функции с заданными нулями $x_1, x_2, \ldots, x_n$ можно использовать многочлен вида $y = (x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n)$.

а) Нулями функции служат числа -3 и 3.

Это означает, что график функции должен пересекать ось OX в точках, где $x = -3$ и $x = 3$. В качестве примера можно взять функцию, заданную уравнением $y = (x - (-3))(x - 3)$, что можно упростить до $y = (x+3)(x-3)$ или $y = x^2 - 9$.

График этой функции — это парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ее ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -9)$. График симметричен относительно оси OY. Он пересекает ось OX в заданных точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Графиком может служить парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке $(0, -9)$ и пересекающая ось абсцисс в точках $x = -3$ и $x = 3$.

б) Нулями функции служат числа -4, 0 и 2.

График функции должен пересекать ось OX в точках, где $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$. Построим соответствующий многочлен: $y = (x - (-4))(x - 0)(x - 2)$, что равносильно $y = x(x+4)(x-2)$ или $y = x^3 + 2x^2 - 8x$.

Это кубическая функция. Ее график представляет собой кривую, которая проходит через точки $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Между нулями $-4$ и $0$ значения функции положительны (график выше оси OX), а между $0$ и $2$ — отрицательны (график ниже оси OX).

Ответ: Графиком может служить кубическая кривая, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$. На интервалах $(-4, 0)$ и $(2, +\infty)$ функция положительна, а на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(0, 2)$ — отрицательна.

в) Нулями функции служат числа -3, 2, 1 и 5.

Расположим нули в порядке возрастания: -3, 1, 2, 5. График функции должен пересекать ось OX в этих четырех точках. Составим многочлен четвертой степени: $y = (x - (-3))(x - 1)(x - 2)(x - 5)$ или $y = (x+3)(x-1)(x-2)(x-5)$.

График этой функции — кривая, напоминающая букву 'W', поскольку это многочлен четной степени с положительным старшим коэффициентом. Обе "ветви" графика уходят в бесконечность вверх. Кривая пересекает ось OX в точках $x = -3, x = 1, x = 2$ и $x = 5$.

Ответ: Графиком может служить кривая, похожая на букву 'W', которая пересекает ось абсцисс в точках $x = -3, x = 1, x = 2$ и $x = 5$. Функция положительна на интервалах $(-\infty, -3)$, $(1, 2)$ и $(5, +\infty)$, и отрицательна на интервалах $(-3, 1)$ и $(2, 5)$.