Номер 1102, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1102, страница 247.

1102. На рисунке 66 изображён график функции y = g(x), где –10 ≤ х ≤ 10. Сколько нулей имеет функция?

Укажите:

а) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

б) промежутки, на которых функция убывает.

y=g(x), где -10≤x≤10

Функция имеет 4 нуля: -8; -3; 4; 8

а) у<0 при x∈[-10;-8); (-3;4); (8;10]

б) функция убывает на промежутках [-5;0] и [6;10]

Проанализируем график функции $y = g(x)$ на промежутке $x \in [-10, 10]$ и последовательно ответим на все вопросы.

Первый вопрос — о количестве нулей функции. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $g(x) = 0$. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). На данном графике мы видим, что кривая пересекает ось $Ox$ в пяти точках. Их абсциссы: $x = -7$, $x = -3$, $x = 3$, $x = 5$ и $x = 9$.

Ответ: функция имеет 5 нулей.

а) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения ($g(x) < 0$) на тех промежутках, где ее график расположен ниже оси абсцисс $Ox$. Используя найденные ранее нули функции, определим эти промежутки:

• От $x = -10$ до $x = -7$. Поскольку в точке $x = -10$ значение функции отрицательно, а в точке $x = -7$ равно нулю, этот промежуток записывается как $[-10, -7)$.
• Между нулями $x = -3$ и $x = 3$. На этом интервале график находится под осью, поэтому промежуток: $(-3, 3)$.
• Между нулями $x = 5$ и $x = 9$. На этом интервале график также находится под осью, поэтому промежуток: $(5, 9)$.

Ответ: $x \in [-10, -7) \cup (-3, 3) \cup (5, 9)$.

б) промежутки, на которых функция убывает.

Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. На графике это участки, где кривая идет вниз при движении слева направо. Такие участки находятся между точками локального максимума ("вершинами") и точками локального минимума ("впадинами").

По графику определяем координаты точек экстремумов:

• Точка локального максимума: $x = -5$.
• Точка локального минимума: $x = 0$.
• Точка локального максимума: $x = 4$.
• Точка локального минимума: $x = 7$.

Следовательно, функция убывает на промежутках от точки максимума до точки минимума:

• От $x = -5$ до $x = 0$. Промежуток убывания: $[-5, 0]$.
• От $x = 4$ до $x = 7$. Промежуток убывания: $[4, 7]$.

Ответ: функция убывает на промежутках $[-5, 0]$ и $[4, 7]$.