Номер 1107, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1107, страница 248.

1107. Имеет ли нули функция:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} y=2,1x-70 \\ 2,1x-70=0 \\ 2,1x=70 \\ x=\frac{70}{2,1} \\ x=\frac{700}{21} \\ x=\frac{100}{3} \\ x=33\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ответ: да, $33\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y=4x(x-2) \\ 4x(x-2)=0 \\ х=0 \text{или} x-2=0; x=2 \end{gathered}$$

Ответ: да; 0 и 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y=\frac{6-x}{x} \\ \frac{6-x}{x}=0 /·x\ne 0 \\ 6-x=0 \\ x=6 \end{gathered}$$

Ответ: да; 6

Чтобы определить, имеет ли функция нули, необходимо найти значения аргумента (x), при которых значение функции (y) равно нулю. Для этого нужно решить уравнение $y = 0$ для каждой из предложенных функций.

а) $y = 2,1x - 70$

Приравняем функцию к нулю и решим полученное линейное уравнение:

$2,1x - 70 = 0$

Перенесем слагаемое -70 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2,1x = 70$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,1:

$x = \frac{70}{2,1} = \frac{700}{21} = \frac{100 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{100}{3}$

Уравнение имеет корень, следовательно, функция имеет нуль.

Ответ: да, функция имеет один нуль при $x = \frac{100}{3}$.

б) $y = 4x(x - 2)$

Приравняем функцию к нулю:

$4x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $4x = 0 \implies x = 0$

2) $x - 2 = 0 \implies x = 2$

Уравнение имеет два корня, следовательно, функция имеет два нуля.

Ответ: да, функция имеет два нуля: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

в) $y = \frac{6 - x}{x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Теперь приравняем функцию к нулю:

$\frac{6 - x}{x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Приравняем числитель к нулю:

$6 - x = 0$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $6 \neq 0$, то $x = 6$ является нулем функции.

Ответ: да, функция имеет один нуль при $x = 6$.