Номер 1111, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1111, страница 248.

1111. Докажите тождество:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}(\frac{a+1}{a^2+1-2a}+\frac{1}{a-1})·\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1}=0 \\ {a}^2-2a+1={\left(a-1\right)}^2 \end{gathered}$$

1) $\frac{a+1}{{\left(a-1\right)}^2}+\frac{1}{a-1}=\frac{a+1+a-1}{{\left(a-1\right)}^2}=\frac{2a}{{\left(a-1\right)}^2}$

2) $\frac{2a}{{\left(a-1\right)}^2}·\frac{a-1}{a}=\frac{2a}{\left(a-1\right)a}=\frac{2}{a-1}$

3) $\frac{2}{a-1}-\frac{2}{a-1}=0\backslash frac\{2\}\{a-1\}-\backslash frac\{2\}\{a-1\}=0$, что и требовалось доказать

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}\right)·\frac{x^{2}y-y^{2}x}{x+y}= \\ =\left(\frac{1+x}{x\left(x-y\right)}-\frac{1-y}{y\left(y-x\right)}\right)·\frac{xy\left(x-y\right)}{x+y}= \\ =\left(\frac{1+x}{x\left(x-y\right)}+\frac{1-y}{y\left(x-y\right)}\right)·\frac{xy\left(x-y\right)}{x+y}= \\ =\frac{\left(1+x\right)y+\left(1-y\right)x}{xy\left(x-y\right)}·\frac{xy\left(x-y\right)}{x+y}= \end{gathered}$$
$=\frac{y+xy+x-xy}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}=1$, что и требовалось доказать

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{a^3-c^3}·\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}= \\ =3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{\left(a-c\right)(a^2+ac+c^2)}·\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)- \\ -\frac{3c^2}{a^2-c^2}=3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{(a-c)(a+c)}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}= \\ =3a\left(\frac{a+c-c}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3a^2}{a^2-c^2}- \end{gathered}$$
$-\frac{3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2}=3$, что и требовалось доказать

а)

Преобразуем левую часть тождества по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что знаменатель первой дроби $a^2 + 1 - 2a$ является полным квадратом разности $(a-1)^2$.

1. Сложение в скобках:

$\frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1}{a-1}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(a-1)^2$:

$\frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a-1)} = \frac{a+1+a-1}{(a-1)^2} = \frac{2a}{(a-1)^2}$

2. Умножение:

Теперь умножим результат первого действия на дробь $\frac{a-1}{a}$:

$\frac{2a}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a} = \frac{2a \cdot (a-1)}{(a-1)^2 \cdot a}$

Сокращаем общие множители $a$ и $(a-1)$:

$\frac{2}{a-1}$

3. Вычитание:

Из результата второго действия вычтем последнюю дробь:

$\frac{2}{a-1} - \frac{2}{a-1} = 0$

Левая часть выражения равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$x^2 - xy = x(x-y)$

$y^2 - xy = y(y-x) = -y(x-y)$

1. Вычитание в скобках:

$\frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy} = \frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{-y(x-y)} = \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{y(x-y)}$

Приводим к общему знаменателю $xy(x-y)$:

$\frac{y(1+x) + x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)}$

2. Упростим второй множитель:

Вынесем общий множитель $xy$ из числителя:

$\frac{x^2y - y^2x}{x+y} = \frac{xy(x-y)}{x+y}$

3. Умножение:

Перемножим результаты первых двух действий:

$\frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{x+y}$

Сокращаем все общие множители в числителе и знаменателе, в результате чего получаем 1.

Левая часть выражения равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

в)

Преобразуем левую часть тождества по действиям.

1. Сначала выполним умножение внутри скобок. Для этого разложим знаменатель $a^3-c^3$ по формуле разности кубов: $a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)$.

$\frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}$

Сокращаем $(a^2+ac+c^2)$:

$\frac{c}{(a-c)(a+c)}$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{1}{a-c} - \frac{c}{(a-c)(a+c)}$

Приводим к общему знаменателю $(a-c)(a+c)$:

$\frac{1(a+c) - c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a}{(a-c)(a+c)}$

Заметим, что $(a-c)(a+c) = a^2-c^2$, поэтому выражение равно $\frac{a}{a^2-c^2}$.

3. Умножим результат на $3a$:

$3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2}$

4. Выполним последнее вычитание:

$\frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}$

Вынесем 3 за скобки в числителе:

$\frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} = 3$

Левая часть выражения равна 3, что и требовалось доказать.

Ответ: 3.