Номер 1105, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1105, страница 247.

1105. Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа:

а) –3 и 3;

б) –4, 0 и 2;

в) –3, 2, 1 и 5.

а) нули функции: -3 и 3

б) нули функции: -4; 0 и 2

в) нули функции: -3; 2; 1 и 5

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки, в которых он пересекает ось абсцисс (ось OX). Для построения графика функции с заданными нулями $x_1, x_2, \ldots, x_n$ можно использовать многочлен вида $y = (x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_n)$.

а) Нулями функции служат числа -3 и 3.

Это означает, что график функции должен пересекать ось OX в точках, где $x = -3$ и $x = 3$. В качестве примера можно взять функцию, заданную уравнением $y = (x - (-3))(x - 3)$, что можно упростить до $y = (x+3)(x-3)$ или $y = x^2 - 9$.

График этой функции — это парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ее ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -9)$. График симметричен относительно оси OY. Он пересекает ось OX в заданных точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Графиком может служить парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке $(0, -9)$ и пересекающая ось абсцисс в точках $x = -3$ и $x = 3$.

б) Нулями функции служат числа -4, 0 и 2.

График функции должен пересекать ось OX в точках, где $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$. Построим соответствующий многочлен: $y = (x - (-4))(x - 0)(x - 2)$, что равносильно $y = x(x+4)(x-2)$ или $y = x^3 + 2x^2 - 8x$.

Это кубическая функция. Ее график представляет собой кривую, которая проходит через точки $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Между нулями $-4$ и $0$ значения функции положительны (график выше оси OX), а между $0$ и $2$ — отрицательны (график ниже оси OX).

Ответ: Графиком может служить кубическая кривая, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -4$, $x = 0$ и $x = 2$. На интервалах $(-4, 0)$ и $(2, +\infty)$ функция положительна, а на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(0, 2)$ — отрицательна.

в) Нулями функции служат числа -3, 2, 1 и 5.

Расположим нули в порядке возрастания: -3, 1, 2, 5. График функции должен пересекать ось OX в этих четырех точках. Составим многочлен четвертой степени: $y = (x - (-3))(x - 1)(x - 2)(x - 5)$ или $y = (x+3)(x-1)(x-2)(x-5)$.

График этой функции — кривая, напоминающая букву 'W', поскольку это многочлен четной степени с положительным старшим коэффициентом. Обе "ветви" графика уходят в бесконечность вверх. Кривая пересекает ось OX в точках $x = -3, x = 1, x = 2$ и $x = 5$.

Ответ: Графиком может служить кривая, похожая на букву 'W', которая пересекает ось абсцисс в точках $x = -3, x = 1, x = 2$ и $x = 5$. Функция положительна на интервалах $(-\infty, -3)$, $(1, 2)$ и $(5, +\infty)$, и отрицательна на интервалах $(-3, 1)$ и $(2, 5)$.