Номер 1109, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Свойства функции. § 13. Функция и её свойства. Глава 5. Функции - номер 1109, страница 248.

1109. Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=x+1 \text{и} y=\frac{2}{x} \\ x+1=\frac{2}{x} \mathrm{/}·x\ne 0 \\ {x}^2+x=2 \\ {x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{-1\pm 3}{2} \\ {x}_1=1; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=x+1=1+1=2; \left(1; 2\right)y=x+1=1+1=2;\; (1;\; 2)$,

если $x=-2x=-2$, то $y=x+1=-2+1=-1; \left(-2; -1\right)y=x+1=-2+1=-1;\; (-2;\; -1)$

Ответ: пересекаются в точках $\left(1; 2\right)(1;\; 2)$ и $\left(-2; -1\right)(-2;\; -1)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=-2x-2 \text{и }y=\frac{1}{x} \\ -2x-2=\frac{1}{x} \mathrm{/}·x\ne 0 \\ -2x^2-2x=1 \\ -2x^2-2x-1=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·\left(-2\right)·\left(-1\right)=4-8=-4<0 \end{gathered}$$

Ответ: не пересекаются

а) Чтобы определить, пересекаются ли графики прямой $y = x + 1$ и гиперболы $y = \frac{2}{x}$, нужно найти общие точки, в которых значения $y$ равны. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x + 1 = \frac{2}{x}$
Поскольку в уравнении гиперболы $x$ находится в знаменателе, $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:
$x(x + 1) = 2$
$x^2 + x = 2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.
Таким образом, мы получили два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Это означает, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках.
Теперь найдем соответствующие координаты $y$ для каждого значения $x$, подставив их в уравнение прямой $y = x + 1$:
1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$. Точка пересечения: $(1; 2)$.
2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$. Точка пересечения: $(-2; -1)$.
Ответ: Да, пересекаются в точках $(1; 2)$ и $(-2; -1)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений прямой $y = -2x - 2$ и гиперболы $y = \frac{1}{x}$:
$-2x - 2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x(-2x - 2) = 1$
$-2x^2 - 2x = 1$
Перенесем все в одну сторону:
$-2x^2 - 2x - 1 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на $-1$:
$2x^2 + 2x + 1 = 0$
Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения, чтобы определить, есть ли у него действительные корни. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a = 2$, $b = 2$, $c = 1$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$
Поскольку дискриминант $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором графики функций пересекались бы.
Ответ: Нет, не пересекаются.