Страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1165. С помощью графиков найдите приближённое значение корня уравнения x =2x.

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=\frac{2}{x} \\ y=\sqrt{x} \text{и} y=\frac{2}{x} \end{gathered}$$

x≈1,6

Ответ: ≈1,6

Для того чтобы найти корень уравнения $\sqrt{x} = \frac{2}{x}$ графическим методом, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{2}{x}$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, её график — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции — $x \ge 0$. Построим его по точкам:

• при $x=0$, $y=0$
• при $x=1$, $y=1$
• при $x=4$, $y=2$

2. Построим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола. Так как для функции $y=\sqrt{x}$ значения $x$ должны быть неотрицательными, а для функции $y = \frac{2}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю, мы ищем решение при $x > 0$. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Построим её по точкам:

• при $x=0,5$, $y=4$
• при $x=1$, $y=2$
• при $x=2$, $y=1$
• при $x=4$, $y=0,5$

3. Найдём точку пересечения. Нанесём графики на координатную плоскость.

Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки находится между значениями $x=1$ и $x=2$. Визуально можно оценить, что она немного больше 1,5. Сделаем предположение, что $x \approx 1,6$.

Для проверки подставим это значение в обе части уравнения:

• Левая часть: $\sqrt{x} = \sqrt{1,6} \approx 1,265$
• Правая часть: $\frac{2}{x} = \frac{2}{1,6} = 1,25$

Значения очень близки, следовательно, приближенное значение корня найдено достаточно точно.

Ответ: $x \approx 1,6$.

1166. Постройте в одной системе координат в первой координатной четверти графики функций у = х, у = х², у = x³, у =x

а) Укажите координаты точек, которые являются общими для всех этих графиков.

б) Опишите взаимное расположение этих графиков на отрезке [0; 1] и на луче [1; +∞).

в) Глядя на рисунок, расположите в порядке возрастания числа: 0,37; 0,37²; 0,37³; 0,37.

г) Расположите в порядке убывания числа: 4,6; 4,6²; 4,6³; 4,6.

a) (0;0) и (1;1)

б) на отрезке [0;1] $x^3<x^2<x<\sqrt{x};$

на луче [1;+∞) 

в) т.к. 0,37∈[0;1], то 0,37³; 0,37²; 0,37; $\sqrt{0,37}\backslash sqrt\{0,37\}$

г) т.к. 4,6∈[1;+∞), то 4,6³; 4,6²; 4,6; $\sqrt{4,6}\backslash sqrt\{4,6\}$

Для решения задачи сначала проанализируем поведение графиков функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$ в первой координатной четверти ($x \ge 0$).

$y = x$ - это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла.
$y = x^2$ - это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх.
$y = x^3$ - это кубическая парабола.
$y = \sqrt{x}$ - это верхняя ветвь параболы, ось которой совпадает с осью Ox.

а) Укажите координаты точек, которые являются общими для всех этих графиков.

Чтобы найти общие точки для всех четырех графиков, нужно найти решения системы уравнений $y = x = x^2 = x^3 = \sqrt{x}$. Для этого достаточно найти точки пересечения, например, графиков $y = x$ и $y = x^2$, а затем проверить, принадлежат ли эти точки остальным графикам.

Решим уравнение $x = x^2$: $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Отсюда получаем два возможных значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Теперь проверим эти точки для всех четырех функций:
Если $x = 0$, то $y = 0$, $y = 0^2 = 0$, $y = 0^3 = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Значит, точка $(0; 0)$ является общей для всех графиков.
Если $x = 1$, то $y = 1$, $y = 1^2 = 1$, $y = 1^3 = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Значит, точка $(1; 1)$ также является общей для всех графиков.

Ответ: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

б) Опишите взаимное расположение этих графиков на отрезке [0; 1] и на луче [1; +?).

Взаимное расположение графиков зависит от того, как соотносятся значения функций $x, x^2, x^3, \sqrt{x}$ на разных промежутках.

На отрезке [0; 1]: Если взять любое число $x$ из интервала $(0; 1)$, то при возведении его в степень больше 1, оно уменьшится, а при извлечении корня — увеличится. Например, для $x=0.25$: $\sqrt{0.25}=0.5$, $0.25^2=0.0625$, $0.25^3 \approx 0.0156$. Таким образом, для любого $x \in (0; 1)$ справедливо неравенство: $x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}$. Это значит, что на интервале $(0; 1)$ график функции $y = x^3$ лежит ниже всех, над ним — график $y = x^2$, еще выше — $y = x$, и самым верхним является график $y = \sqrt{x}$. В точках $x=0$ и $x=1$ все графики пересекаются.

На луче [1; +?): Если взять любое число $x > 1$, то при возведении его в степень больше 1, оно увеличится, а при извлечении корня — уменьшится. Например, для $x=4$: $\sqrt{4}=2$, $4^2=16$, $4^3=64$. Таким образом, для любого $x \in (1; +\infty)$ справедливо неравенство: $\sqrt{x} < x < x^2 < x^3$. Это значит, что на луче $(1; +\infty)$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит ниже всех, над ним — график $y = x$, еще выше — $y = x^2$, и самым верхним является график $y = x^3$. В точке $x=1$ все графики пересекаются.

Ответ: На отрезке $[0; 1]$ графики располагаются (снизу вверх) в порядке $y=x^3, y=x^2, y=x, y=\sqrt{x}$. На луче $[1; +\infty)$ графики располагаются (снизу вверх) в порядке $y=\sqrt{x}, y=x, y=x^2, y=x^3$.

в) Глядя на рисунок, расположите в порядке возрастания числа: 0,37; 0,37?; 0,37?; $\sqrt{0,37}$.

Эти числа представляют собой значения функций $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=\sqrt{x}$ в точке $x = 0,37$.

Так как $0 < 0,37 < 1$, мы находимся на отрезке $[0; 1]$. Как было установлено в пункте б), на этом интервале выполняется соотношение $x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}$.

Подставив $x = 0,37$, получаем: $0,37^3 < 0,37^2 < 0,37 < \sqrt{0,37}$.

Ответ: $0,37^3$; $0,37^2$; $0,37$; $\sqrt{0,37}$.

г) Расположите в порядке убывания числа: 4,6; 4,6?; 4,6?; $\sqrt{4,6}$.

Эти числа представляют собой значения функций $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$ и $y=\sqrt{x}$ в точке $x = 4,6$.

Так как $4,6 > 1$, мы находимся на луче $[1; +\infty)$. Как было установлено в пункте б), на этом луче выполняется соотношение $\sqrt{x} < x < x^2 < x^3$.

Подставив $x = 4,6$, получаем: $\sqrt{4,6} < 4,6 < 4,6^2 < 4,6^3$.

Записав это неравенство в обратном порядке для расположения чисел по убыванию, получим: $4,6^3 > 4,6^2 > 4,6 > \sqrt{4,6}$.

Ответ: $4,6^3$; $4,6^2$; $4,6$; $\sqrt{4,6}$.

1167. Используя рисунок 52 на с. 237, перечислите свойства функций y = x², y = x³, y = x и y = |x|.

I. y=x²

1. D(y)=R

2. E(y)=[0;+∞)

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

5. функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞)

6. Наибольшего значения функция не имей, наименьшее значение y=0 при x=0

II. y=x³

1. D(y)=R

2. E(y)=R

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(0;+∞)

y<0 при x∈(-∞;0)

5. функция возрастает на промежутке (-∞;+∞)

6. Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет

III. $\mathit{y}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}$

1. D(y)=[0;+∞)

2. E(y)=[0;+∞)

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(0;+∞)

5. функция возрастает на промежутке [0;+∞)

6. Наибольшего значения функция не имеет, наименьшее значение y=0 при x=0

IV. y=|x|

1. D(y)=R

2. E(y)=[0;+∞)

3. y=0 при x=0

4. y>0 при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

5. функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞)

6. наибольшего значения функция не имеет, наименьшее значение y=0 при x=0

$y = x^2$

Область определения: множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: множество всех неотрицательных чисел, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.
Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (OY).
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min}=0$. Точка $(0; 0)$ - точка минимума. Максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения $(-\infty; +\infty)$; область значений $[0; +\infty)$; четная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \neq 0$; убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0;0)$.

$y = x^3$

Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$, $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Экстремумы: точек минимума и максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^3$: область определения $(-\infty; +\infty)$; область значений $(-\infty; +\infty)$; нечетная; нуль функции $x=0$; $y<0$ при $x<0$ и $y>0$ при $x>0$; возрастает на $(-\infty; +\infty)$; экстремумов нет.

$y = \sqrt{x}$

Область определения: множество всех неотрицательных чисел, $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: множество всех неотрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на промежутке $(0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.
Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min}=0$. Точка $(0; 0)$ - точка минимума. Максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=\sqrt{x}$: область определения $[0; +\infty)$; область значений $[0; +\infty)$; ни четная, ни нечетная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x>0$; возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0;0)$.

$y = |x|$

Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: множество всех неотрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (OY).
Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min}=0$. Точка $(0; 0)$ - точка минимума. Максимума нет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=|x|$: область определения $(-\infty; +\infty)$; область значений $[0; +\infty)$; четная; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \neq 0$; убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$; точка минимума $(0;0)$.

1168. Графиком какой из функций — у = 4x или у = x4 — является гипербола?

$y=\frac{x}{4}y=\backslash frac\{x\}\{4\}$ - прямая пропорциональность,

$y=\frac{4}{x}y=\backslash frac\{4\}\{x\}$ - обратная пропорциональность, ее график гипербола

Ответ: $y=\frac{4}{x}y=\backslash frac\{4\}\{x\}$

Для того чтобы определить, графиком какой из данных функций является гипербола, необходимо проанализировать их общий вид.

Общий вид функции, графиком которой является гипербола, — это $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — отличное от нуля число. Такая функция называется обратной пропорциональностью.

Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком такой функции является прямая линия.

Рассмотрим первую функцию: $y = \frac{4}{x}$.

Эта функция соответствует общему виду $y = \frac{k}{x}$ при $k = 4$. Следовательно, ее графиком является гипербола.

Рассмотрим вторую функцию: $y = \frac{x}{4}$.

Эту формулу можно переписать в виде $y = \frac{1}{4}x$. Это линейная функция, соответствующая общему виду $y = kx + b$, где $k = \frac{1}{4}$ и $b = 0$. Следовательно, ее графиком является прямая линия, проходящая через начало координат.

Таким образом, из двух предложенных функций гиперболой является график функции $y = \frac{4}{x}$.

Ответ: $y = \frac{4}{x}$

1169. Какие из точек (5; 3), (10; –2), (–0,3; –50), (–0,4; 50) принадлежат графику функции:

a) $y=\frac{15}{x}y=\backslash frac\{15\}\{x\}$

(5;3) $y=\frac{15}{5}=3y=\backslash frac\{15\}\{5\}=3$

(10;-2) $y=\frac{15}{10}=1,5\mathrm{\ne }-2y=\backslash frac\{15\}\{10\}=1,5\; \backslash neq\; -2$

(-0,3; -50) $y=\frac{15}{-0,3}=\frac{150}{-3}=-50y=\backslash frac\{15\}\{-0,3\}=\backslash frac\{150\}\{-3\}=-50$

(-0,4; 50) $y=\frac{15}{-0,4}=\frac{150}{-4}=-37,5\mathrm{\ne }50y=\backslash frac\{15\}\{-0,4\}=\backslash frac\{150\}\{-4\}=-37,5\; \backslash neq\; 50$

Ответ: (5; 3) и (-0,3; -50)

б) $y=-\frac{20}{x}y=-\backslash frac\{20\}\{x\}$

(5;3) $y=-\frac{20}{5}=-4\mathrm{\ne }3y=-\backslash frac\{20\}\{5\}=-4\; \backslash neq\; 3$

(10;-2) $y=-\frac{20}{10}=-2y=-\backslash frac\{20\}\{10\}=-2$

(-0,3;-50) $y=-\frac{20}{-0,3}=\frac{200}{3}=66\frac{2}{3}\mathrm{\ne }-50y=-\backslash frac\{20\}\{-0,3\}=\backslash frac\{200\}\{3\}=66\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash neq\; -50$

(-0,4;50) $y=-\frac{20}{-0,4}=\frac{200}{4}=50y=-\backslash frac\{20\}\{-0,4\}=\backslash frac\{200\}\{4\}=50$

Ответ: (10; -2) и (-0,4; 50)

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение $x_0$ в уравнение функции и проверить, будет ли полученное значение $y$ равно $y_0$. Если равенство $y_0 = f(x_0)$ выполняется, точка принадлежит графику.

Проверим принадлежность точек графику функции $y = \frac{15}{x}$.

1. Для точки (5; 3):
Подставим $x = 5$ в уравнение функции: $y = \frac{15}{5} = 3$.
Так как полученное значение $y=3$ совпадает с ординатой точки, точка (5; 3) принадлежит графику.

2. Для точки (10; –2):
Подставим $x = 10$ в уравнение функции: $y = \frac{15}{10} = 1,5$.
Так как $1,5 \neq -2$, точка (10; –2) не принадлежит графику.

3. Для точки (–0,3; –50):
Подставим $x = -0,3$ в уравнение функции: $y = \frac{15}{-0,3} = -\frac{150}{3} = -50$.
Так как полученное значение $y=-50$ совпадает с ординатой точки, точка (–0,3; –50) принадлежит графику.

4. Для точки (–0,4; 50):
Подставим $x = -0,4$ в уравнение функции: $y = \frac{15}{-0,4} = -\frac{150}{4} = -37,5$.
Так как $-37,5 \neq 50$, точка (–0,4; 50) не принадлежит графику.

Ответ: (5; 3) и (–0,3; –50).

Проверим принадлежность точек графику функции $y = -\frac{20}{x}$.

1. Для точки (5; 3):
Подставим $x = 5$ в уравнение функции: $y = -\frac{20}{5} = -4$.
Так как $-4 \neq 3$, точка (5; 3) не принадлежит графику.

2. Для точки (10; –2):
Подставим $x = 10$ в уравнение функции: $y = -\frac{20}{10} = -2$.
Так как полученное значение $y=-2$ совпадает с ординатой точки, точка (10; –2) принадлежит графику.

3. Для точки (–0,3; –50):
Подставим $x = -0,3$ в уравнение функции: $y = -\frac{20}{-0,3} = \frac{200}{3} \approx 66,67$.
Так как $\frac{200}{3} \neq -50$, точка (–0,3; –50) не принадлежит графику.

4. Для точки (–0,4; 50):
Подставим $x = -0,4$ в уравнение функции: $y = -\frac{20}{-0,4} = \frac{200}{4} = 50$.
Так как полученное значение $y=50$ совпадает с ординатой точки, точка (–0,4; 50) принадлежит графику.

Ответ: (10; –2) и (–0,4; 50).

1170. В одной системе координат постройте графики функций

Как зависит расположение графика функции у = $\frac{k}{x}$ от модуля коэффициента k?

Если , то график расположен во II и IV координатных четвертях.

Если $k>0k>0$, то график расположен в I и III координатных четвертях.

Чем больше модуль $kk$, тем дальше гипербола расположена от начала координат.

Все заданные функции имеют вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — ненулевой коэффициент. Такие функции являются обратной пропорциональностью, а их графиком является гипербола. Гипербола состоит из двух ветвей, а ее асимптотами служат координатные оси Ox и Oy.

Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, ветви графика расположены в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви графика расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графиков в одной системе координат составим таблицы значений для каждой функции.

1. Функции с $k > 0$: $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{4}{x}$

Для $y = \frac{1}{x}$ ($k=1$):

Для $y = \frac{4}{x}$ ($k=4$):

2. Функции с $k < 0$: $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -\frac{6}{x}$

Для $y = -\frac{2}{x}$ ($k=-2$):

Для $y = -\frac{6}{x}$ ($k=-6$):

Нанесем точки из таблиц на координатную плоскость и соединим их плавными линиями. Все четыре графика построены в одной системе координат:

Обозначения на графике:

• Синий график: $y = \frac{1}{x}$
• Красный график: $y = \frac{4}{x}$
• Зеленый график: $y = -\frac{2}{x}$
• Фиолетовый график: $y = -\frac{6}{x}$

Как зависит расположение графика функции $y = \frac{k}{x}$ от модуля коэффициента $k$?

Проанализируем построенные графики, сравнивая функции с коэффициентами одного знака.

1. Для функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{4}{x}$ коэффициенты $k$ положительны. Модули коэффициентов равны $|k|=1$ и $|k|=4$. На графике видно, что ветви гиперболы $y = \frac{4}{x}$, у которой модуль коэффициента больше, расположены дальше от осей координат, чем ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

2. Для функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -\frac{6}{x}$ коэффициенты $k$ отрицательны. Модули коэффициентов равны $|k|=|-2|=2$ и $|k|=|-6|=6$. Аналогично, график функции $y = -\frac{6}{x}$, у которой модуль коэффициента больше, расположен дальше от осей координат, чем график функции $y = -\frac{2}{x}$.

Таким образом, можно сделать общий вывод о том, что модуль коэффициента $k$ влияет на то, насколько ветви гиперболы "отдалены" от начала координат. При увеличении $|k|$ график как бы "растягивается" от центра.

Ответ: Чем больше значение модуля коэффициента $|k|$, тем дальше ветви гиперболы $y = \frac{k}{x}$ расположены от осей координат.

1171. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

a) $y=-\frac{1}{x}y=-\backslash frac\{1\}\{x\}; y=-xy=-x$

Ответ: (-1;1) и (1;-1)

б) $y=\frac{2}{x}y=\backslash frac\{2\}\{x\}; y=x+1y=x+1$

Ответ: (1;2) и (-2;-1)

а) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$

Чтобы построить графики данных функций и найти координаты их точек пересечения, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Построение графика функции $y = -\frac{1}{x}$
Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=-1$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику.

2. Построение графика функции $y = -x$
Графиком этой функции является прямая. Эта прямая проходит через начало координат и является биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

3. Нахождение координат точек пересечения
В точках пересечения значения ординат ($y$) у обоих графиков совпадают. Поэтому, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения, приравняем правые части уравнений: $-\frac{1}{x} = -x$

Умножим обе части уравнения на $-x$. Область определения функции $y = -\frac{1}{x}$ исключает $x=0$, поэтому это преобразование является равносильным. $1 = x^2$

Решениями этого уравнения являются: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = -x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -1$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -(-1) = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$

1. Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$
Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=2$ положительный, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами. Составим таблицу значений для построения.

2. Построение графика функции $y = x + 1$
Графиком этой функции является прямая. Для ее построения найдем две точки: Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$. Если $x = 1$, то $y = 1 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

3. Нахождение координат точек пересечения
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $\frac{2}{x} = x + 1$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$): $2 = x(x+1)$ $2 = x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = x + 1$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точки пересечения графиков имеют координаты $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.