Страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1187. Представьте в виде произведения дробь:

a) $\frac{3}{b^2}=3·\frac{1}{b^2}=3b^{-2}$

б) $\frac{x}{y}=x·\frac{1}{y}=x{y}^{-1}$

в) $\frac{2a^8}{c^5}=2a^8·\frac{1}{c^5}=2a^8{c}^{-5}$

г) $\frac{a^5}{7b^3}=a^5·\frac{1}{7b^3}=a^5·\frac{1}{7}{b}^{-3}=\frac{1}{7}{a}^5{b}^{-3}$

д) $\frac{1}{x^2{y}^3}=x^{-2}{y}^{-3}\backslash frac\{1\}\{x^2y^3\}=x^\{-2\}y^\{-3\}$

e) $\frac{{\left(a+b\right)}^2}{b^4{c}^4}={\left(a+b\right)}^2{b}^{-4}{c}^{-4}={\left(a+b\right)}^2{\left(bc\right)}^{-4}$

ж) $\frac{2a}{{\left(a-2\right)}^2}=2a{\left(a-2\right)}^{-2}$

з) $\frac{{\left(c+b\right)}^5}{2{\left(a-b\right)}^4}=\frac{{\left(c+b\right)}^5}{2}{\left(a-b\right)}^{-4}=\frac{1}{2}{\left(c+b\right)}^5{\left(a-b\right)}^{-4}$

а) Чтобы представить дробь в виде произведения, можно разложить её числитель и знаменатель на множители и сгруппировать их по-разному. В данном случае знаменатель $ b^2 $ можно записать как $ b \cdot b $.
$ \frac{3}{b^2} = \frac{3}{b \cdot b} = \frac{3}{b} \cdot \frac{1}{b} $
Ответ: $ \frac{3}{b} \cdot \frac{1}{b} $

б) Дробь $ \frac{x}{y} $ можно представить как произведение переменной в числителе на дробь с единицей в числителе и переменной в знаменателе.
$ \frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{y} $
Ответ: $ \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{y} $

в) Дробь $ \frac{2a^8}{c^5} $ можно разложить на произведение дробей, каждая из которых соответствует отдельному множителю в исходной дроби (числовому коэффициенту, переменным).
$ \frac{2a^8}{c^5} = 2 \cdot a^8 \cdot \frac{1}{c^5} = \frac{2}{1} \cdot \frac{a^8}{1} \cdot \frac{1}{c^5} $
Ответ: $ \frac{2}{1} \cdot \frac{a^8}{1} \cdot \frac{1}{c^5} $

г) В дроби $ \frac{a^5}{7b^3} $ в знаменателе есть два множителя: 7 и $ b^3 $. Можно представить исходную дробь как произведение двух дробей, разделив эти множители.
$ \frac{a^5}{7b^3} = \frac{a^5}{7 \cdot b^3} = \frac{a^5}{7} \cdot \frac{1}{b^3} $
Ответ: $ \frac{a^5}{7} \cdot \frac{1}{b^3} $

д) Знаменатель дроби $ \frac{1}{x^2y^3} $ состоит из произведения $ x^2 $ и $ y^3 $. Дробь можно представить как произведение двух дробей с этими знаменателями.
$ \frac{1}{x^2y^3} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y^3} $
Ответ: $ \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y^3} $

е) Заметим, что и числитель, и знаменатель дроби $ \frac{(a+b)^2}{b^4c^4} $ являются полными квадратами: $ (a+b)^2 $ и $ b^4c^4 = (b^2c^2)^2 $. Это позволяет представить всю дробь как квадрат, а затем как произведение двух одинаковых дробей.
$ \frac{(a+b)^2}{b^4c^4} = \frac{(a+b)^2}{(b^2c^2)^2} = \left(\frac{a+b}{b^2c^2}\right)^2 = \frac{a+b}{b^2c^2} \cdot \frac{a+b}{b^2c^2} $
Ответ: $ \frac{a+b}{b^2c^2} \cdot \frac{a+b}{b^2c^2} $

ж) В дроби $ \frac{2a}{(a-2)^2} $ числитель можно представить как $ 2 \cdot a $, а знаменатель как $ (a-2) \cdot (a-2) $. Сгруппируем множители в две новые дроби.
$ \frac{2a}{(a-2)^2} = \frac{2 \cdot a}{(a-2)(a-2)} = \frac{2}{a-2} \cdot \frac{a}{a-2} $
Ответ: $ \frac{2}{a-2} \cdot \frac{a}{a-2} $

з) Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сгруппировать их в произведение дробей. $ (c+b)^5 = (c+b) \cdot (c+b)^4 $ и $ 2(a-b)^4 = 2 \cdot (a-b)^4 $.
$ \frac{(c+b)^5}{2(a-b)^4} = \frac{(c+b) \cdot (c+b)^4}{2 \cdot (a-b)^4} = \frac{c+b}{2} \cdot \frac{(c+b)^4}{(a-b)^4} $
Ответ: $ \frac{c+b}{2} \cdot \frac{(c+b)^4}{(a-b)^4} $

1188. Представьте в виде дроби выражение:

a) $a^{-2}+b^{-2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}a^\{-2\}+b^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{a^2\}+\backslash frac\{1\}\{b^2\}=\backslash frac\{a^2+b^2\}\{a^2b^2\}$

б) $x{y}^{-1}+x{y}^{-2}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y^2}=\frac{xy+x}{y^2}xy^\{-1\}+xy^\{-2\}=\backslash frac\{x\}\{y\}+\backslash frac\{x\}\{y^2\}=\backslash frac\{xy+x\}\{y^2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(a+b^{-1}\right)\left(a^{-1}-b\right)=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}-b\right)= \\ =\frac{ab+1}{b}·\frac{1-ab}{a}=\frac{1-a^2{b}^2}{ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(x-2y^{-1}\right)\left(x^{-1}+2y\right)=\left(x-\frac{2}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+2y\right)= \\ =\frac{xy-2}{y}·\frac{1+2xy}{x}=\frac{xy+2x^2{y}^2-2-4xy}{xy}= \\ =\frac{2x^2{y}^2-3xy-2}{xy} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить выражение $a^{-2} + b^{-2}$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
Далее приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1 \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} + \frac{1 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

б)

Преобразуем слагаемые с отрицательными степенями: $y^{-1} = \frac{1}{y}$ и $y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
$xy^{-1} + xy^{-2} = x \cdot \frac{1}{y} + x \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{x}{y} + \frac{x}{y^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $y^2$:
$\frac{x \cdot y}{y \cdot y} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy}{y^2} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy + x}{y^2}$
Ответ: $\frac{xy + x}{y^2}$

в)

Преобразуем выражение $(a + b^{-1})(a^{-1} - b)$, заменив степени с отрицательным показателем на дроби:
$(a + \frac{1}{b})( \frac{1}{a} - b)$
Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю.
Первая скобка: $a + \frac{1}{b} = \frac{a \cdot b}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$
Вторая скобка: $\frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} - \frac{b \cdot a}{a} = \frac{1 - ab}{a}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{ab + 1}{b} \cdot \frac{1 - ab}{a} = \frac{(1 + ab)(1 - ab)}{ab}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$\frac{1^2 - (ab)^2}{ab} = \frac{1 - a^2b^2}{ab}$
Ответ: $\frac{1 - a^2b^2}{ab}$

г)

Преобразуем выражение $(x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y)$, заменив степени с отрицательным показателем на дроби:
$(x - \frac{2}{y})( \frac{1}{x} + 2y)$
Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю.
Первая скобка: $x - \frac{2}{y} = \frac{x \cdot y}{y} - \frac{2}{y} = \frac{xy - 2}{y}$
Вторая скобка: $\frac{1}{x} + 2y = \frac{1}{x} + \frac{2y \cdot x}{x} = \frac{1 + 2xy}{x}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{xy - 2}{y} \cdot \frac{1 + 2xy}{x} = \frac{(xy - 2)(1 + 2xy)}{yx}$
Раскроем скобки в числителе, перемножив многочлены:
$(xy - 2)(2xy + 1) = xy \cdot 2xy + xy \cdot 1 - 2 \cdot 2xy - 2 \cdot 1 = 2x^2y^2 + xy - 4xy - 2 = 2x^2y^2 - 3xy - 2$
Запишем итоговую дробь:
$\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$
Ответ: $\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$

1189. Преобразуйте в дробь выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(a^{-1}+b^{-1}\right){\left(a+b\right)}^{-1}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)·\frac{1}{a+b}= \\ =\frac{a+b}{ab}·\frac{1}{a+b}=\frac{1}{ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(a-b{)}^{-2}(a^{-2}-b^{-2})=\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}·\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)= \\ =\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}·\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{{\left(b-a\right)}^2{a}^2{b}^2}=\frac{a+b}{a^2{b}^2\left(b-a\right)} \end{gathered}$$

а) $(a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1}$

Для решения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$.

Второй множитель: $(a + b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$.

Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{a+b}{ab}) \cdot (\frac{1}{a+b}) = \frac{(a+b) \cdot 1}{ab \cdot (a+b)}$.

Сократим в числителе и знаменателе общий множитель $(a+b)$:

$\frac{\cancel{a+b}}{ab(\cancel{a+b})} = \frac{1}{ab}$.

Ответ: $\frac{1}{ab}$.

б) $(a - b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2})$

Аналогично пункту а), применим свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Первый множитель: $(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a-b)^2}$.

Второй множитель: $a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$. Приведем к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$.

Теперь выполним умножение полученных выражений:

$\frac{1}{(a-b)^2} \cdot \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{(a-b)^2 a^2b^2}$.

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(b-a)(b+a)}{(a-b)^2 a^2b^2}$.

Мы знаем, что $(b-a) = -(a-b)$. Заменим это в числителе:

$\frac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)^2 a^2b^2}$.

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{-(a+b)}{(a-b)a^2b^2} = -\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$.

Ответ: $-\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$.

1190. Определите множество значений x, при которых функция y = (x – 2)⁻¹ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

$$\begin{gathered} y={\left(x-2\right)}^{-1} \\ y=\frac{1}{x-2} \end{gathered}$$

a) $y>0y>0; \frac{1}{x-2}>0\backslash frac\{1\}\{x-2\}>0; x-2>0x-2>0; x>2x>2$

Ответ: (2; +∞)

б)

Ответ: (-∞; 2)

а) положительные значения

Данная функция $y = (x - 2)^{-1}$ может быть переписана в виде дроби: $y = \frac{1}{x - 2}$.

Чтобы функция принимала положительные значения, необходимо выполнение неравенства $y > 0$: $\frac{1}{x - 2} > 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель нашей дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, знаменатель также должен быть положительным: $x - 2 > 0$.

Решая это неравенство, получаем: $x > 2$.

Таким образом, множество значений $x$, при которых функция принимает положительные значения, — это интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) отрицательные значения

Чтобы функция принимала отрицательные значения, необходимо выполнение неравенства $y < 0$: $\frac{1}{x - 2} < 0$.

Дробь является отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Так как числитель равен 1 (положительное число), знаменатель должен быть отрицательным: $x - 2 < 0$.

Решая это неравенство, получаем: $x < 2$.

Таким образом, множество значений $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, — это интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

1191. При каких натуральных n дробь (n - 7)²n принимает натуральные значения?

$$\begin{gathered} \frac{{\left(n-7\right)}^2}{n}=\frac{n^2-14n+49}{n}=n-14+\frac{49}{n} \\ n=1; 1-14+49=36\in N \\ n=7; 7-14+\frac{49}{7}=-7+7=0\notin N \\ n=49; 49-14+\frac{49}{49}=35+1=36\in N \end{gathered}$$

Ответ: при n=1, n=49

Для того чтобы дробь $ \frac{(n-7)^2}{n} $ принимала натуральные значения, где $n$ — натуральное число, необходимо преобразовать данное выражение.

Сначала раскроем квадрат в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$ (n-7)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 7 + 7^2 = n^2 - 14n + 49 $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и разделим числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{n^2 - 14n + 49}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{14n}{n} + \frac{49}{n} = n - 14 + \frac{49}{n} $.

По условию $n$ является натуральным числом, значит, $n - 14$ является целым числом. Для того чтобы все выражение $n - 14 + \frac{49}{n}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $ \frac{49}{n} $ также было целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 49.

Найдем все натуральные делители числа 49. Это числа 1, 7 и 49.

Теперь проверим каждое из этих значений $n$, чтобы убедиться, что значение всей дроби будет натуральным числом (то есть положительным целым числом).

1. При $n=1$:
$ \frac{(1-7)^2}{1} = \frac{(-6)^2}{1} = 36 $.
Значение 36 является натуральным числом.

2. При $n=7$:
$ \frac{(7-7)^2}{7} = \frac{0^2}{7} = 0 $.
Значение 0 не является натуральным числом.

3. При $n=49$:
$ \frac{(49-7)^2}{49} = \frac{42^2}{49} = \frac{1764}{49} = 36 $.
Значение 36 является натуральным числом.

Следовательно, дробь принимает натуральные значения только при $n=1$ и $n=49$.

Ответ: 1, 49.

1192. Найдите коэффициент обратной пропорциональности, зная, что её график проходит через точку:

а) А(1,5; 8);

б) В(0,04; –25).

a) $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$

A(1,5; 8)

$$\begin{gathered} \frac{k}{1,5}=8\backslash frac\{k\}\{1,5\}=8 \\ k=1,5·8k=1,5\; \backslash cdot\; 8 \\ k=12k=12 \end{gathered}$$

Ответ: 12

б) $y=\frac{k}{x}y=\backslash frac\{k\}\{x\}$

B(0,04; -25)

$$\begin{gathered} \frac{k}{0,04}=-25\backslash frac\{k\}\{0,04\}=-25 \\ k=-25·0,04k=-25\; \backslash cdot\; 0,04 \\ k=-1k=-1 \end{gathered}$$

Ответ: -1

Функция обратной пропорциональности задается общей формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ является коэффициентом обратной пропорциональности.

Поскольку график функции проходит через заданную точку с координатами $(x; y)$, то эти координаты удовлетворяют уравнению функции. Чтобы найти коэффициент $k$, мы можем выразить его из формулы: $k = x \cdot y$. Теперь достаточно подставить координаты данной точки в это выражение.

График функции проходит через точку A(1,5; 8). В этом случае, абсцисса $x = 1,5$, а ордината $y = 8$.

Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = x \cdot y = 1,5 \cdot 8 = 12$

Ответ: 12.

График функции проходит через точку B(0,04; –25). В этом случае, абсцисса $x = 0,04$, а ордината $y = -25$.

Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = x \cdot y = 0,04 \cdot (-25) = -1$

Ответ: -1.