Номер 1189, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1189, страница 265.

1189. Преобразуйте в дробь выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left(a^{-1}+b^{-1}\right){\left(a+b\right)}^{-1}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)·\frac{1}{a+b}= \\ =\frac{a+b}{ab}·\frac{1}{a+b}=\frac{1}{ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(a-b{)}^{-2}(a^{-2}-b^{-2})=\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}·\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)= \\ =\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}·\frac{b^2-a^2}{a^2{b}^2}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{{\left(b-a\right)}^2{a}^2{b}^2}=\frac{a+b}{a^2{b}^2\left(b-a\right)} \end{gathered}$$

а) $(a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1}$

Для решения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$.

Второй множитель: $(a + b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$.

Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{a+b}{ab}) \cdot (\frac{1}{a+b}) = \frac{(a+b) \cdot 1}{ab \cdot (a+b)}$.

Сократим в числителе и знаменателе общий множитель $(a+b)$:

$\frac{\cancel{a+b}}{ab(\cancel{a+b})} = \frac{1}{ab}$.

Ответ: $\frac{1}{ab}$.

б) $(a - b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2})$

Аналогично пункту а), применим свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Первый множитель: $(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a-b)^2}$.

Второй множитель: $a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$. Приведем к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$.

Теперь выполним умножение полученных выражений:

$\frac{1}{(a-b)^2} \cdot \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2-a^2}{(a-b)^2 a^2b^2}$.

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(b-a)(b+a)}{(a-b)^2 a^2b^2}$.

Мы знаем, что $(b-a) = -(a-b)$. Заменим это в числителе:

$\frac{-(a-b)(a+b)}{(a-b)^2 a^2b^2}$.

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{-(a+b)}{(a-b)a^2b^2} = -\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$.

Ответ: $-\frac{a+b}{a^2b^2(a-b)}$.