Номер 1195, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1195, страница 267.

1195. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.

$a^{-n}·a^n=a^{-n+n}=a^0=1,$ где a≠0

Для того чтобы доказать, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны, необходимо показать, что их произведение равно единице. По определению, два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Пусть a — любое отличное от нуля число, то есть $a \neq 0$.

Пусть n — произвольный показатель степени. Тогда степени числа a с противоположными показателями будут $a^n$ и $a^{-n}$.

Найдем произведение этих двух степеней. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

Применяя это свойство к нашему случаю, получаем:

$a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^{n-n} = a^0$

По определению степени с нулевым показателем, любое число, не равное нулю, возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как по условию $a \neq 0$, то справедливо равенство:

$a^0 = 1$

Следовательно, мы доказали, что произведение степеней $a^n$ и $a^{-n}$ равно 1:

$a^n \cdot a^{-n} = 1$

Поскольку произведение этих двух чисел равно 1, они являются взаимно обратными. Это завершает доказательство.

Ответ: Пусть a — отличное от нуля число, а n и –n — противоположные показатели. Их произведение равно $a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^{n-n} = a^0 = 1$. Так как произведение этих степеней равно 1, они по определению являются взаимно обратными.