Номер 1197, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1197, страница 267.

1197. Вычислите:

a) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{27}}}=27$

б) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

в) $0,01^{-2}=\frac{1}{0,01^2}=\frac{1}{0,0001}=\frac{10000}{1}=100000,01^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{0,01^2\}=\backslash frac\{1\}\{0,0001\}=\backslash frac\{10000\}\{1\}=10000$

г) ${\left(1\frac{2}{3}\right)}^{-4}={\left(\frac{5}{3}\right)}^{-4}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^4}={\left(\frac{3}{5}\right)}^4=\frac{81}{625}$

д) $0,002^{-1}=\frac{1}{0,002}=\frac{1000}{2}=5000,002^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{0,002\}=\backslash frac\{1000\}\{2\}=500$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{\left(-1\frac{1}{3}\right)}^{-5}={\left(-\frac{4}{3}\right)}^{-5}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^5}=-\frac{1}{{\displaystyle -\frac{1024}{243}}}= \\ =-\frac{243}{1024} \end{gathered}$$

а) Для вычисления выражения $(\frac{1}{3})^{-3}$ используется свойство степени с отрицательным показателем. Для любой дроби $(\frac{a}{b})$ и целого числа $n$ справедливо равенство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Применяя это свойство, получаем:
$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

б) Для вычисления выражения $(\frac{3}{4})^{-1}$ воспользуемся тем же свойством степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
В данном случае $n=1$:
$(\frac{3}{4})^{-1} = (\frac{4}{3})^1 = \frac{4}{3}$.
Этот результат можно также записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

в) Чтобы вычислить $0,01^{-2}$, сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Теперь необходимо вычислить $(\frac{1}{100})^{-2}$.
Используя правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: 10000

г) Чтобы вычислить $(1\frac{2}{3})^{-4}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Теперь задача сводится к вычислению $(\frac{5}{3})^{-4}$.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$(\frac{5}{3})^{-4} = (\frac{3}{5})^4 = \frac{3^4}{5^4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{81}{625}$.
Ответ: $\frac{81}{625}$

д) Для вычисления $0,002^{-1}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной.
$0,002 = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$.
Теперь вычислим $(\frac{1}{500})^{-1}$.
По определению $a^{-1} = \frac{1}{a}$, поэтому:
$(\frac{1}{500})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{500}} = 500$.
Ответ: 500

е) Чтобы вычислить $(-1\frac{1}{3})^{-5}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Теперь необходимо вычислить $(-\frac{4}{3})^{-5}$.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$(-\frac{4}{3})^{-5} = (-\frac{3}{4})^5$.
Так как основание степени отрицательное, а показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.
$(-\frac{3}{4})^5 = -(\frac{3}{4})^5 = -\frac{3^5}{4^5} = -\frac{243}{1024}$.
Ответ: $-\frac{243}{1024}$