Номер 1204, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1204, страница 268.

1204. Представьте какими-либо тремя способами выражение х⁻¹⁰ в виде произведения степеней.

$x^{-10}=x^{-2}·x^{-8}=x^{-20}·x^{10}=x^{-5}·x^{-5}$

Для того чтобы представить выражение $x^{-10}$ в виде произведения степеней, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Задача сводится к тому, чтобы найти различные комбинации показателей (чисел $m$, $n$ и т.д.), сумма которых будет равна $-10$. Существует бесконечное множество таких комбинаций. Приведем три возможных способа.

Способ 1

Представим показатель степени $-10$ как сумму двух отрицательных целых чисел. Например, возьмем числа $-4$ и $-6$. Их сумма равна $-10$:
$-4 + (-6) = -10$
Тогда, согласно свойству умножения степеней, можно записать:
$x^{-10} = x^{-4 + (-6)} = x^{-4} \cdot x^{-6}$

Ответ: $x^{-4} \cdot x^{-6}$

Способ 2

Представим $-10$ как сумму положительного и отрицательного числа. Например, возьмем числа $2$ и $-12$. Их сумма также равна $-10$:
$2 + (-12) = -10$
В этом случае выражение будет выглядеть так:
$x^{-10} = x^{2 + (-12)} = x^{2} \cdot x^{-12}$

Ответ: $x^{2} \cdot x^{-12}$

Способ 3

Можно представить показатель $-10$ как сумму трех или более слагаемых. Например, возьмем числа $-2$, $-3$ и $-5$. Их сумма равна $-10$:
$-2 + (-3) + (-5) = -10$
Тогда произведение будет состоять из трех множителей:
$x^{-10} = x^{-2 + (-3) + (-5)} = x^{-2} \cdot x^{-3} \cdot x^{-5}$

Ответ: $x^{-2} \cdot x^{-3} \cdot x^{-5}$