Номер 1207, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1207, страница 268.

1207. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}1,5аb^{-3}·6{а}^{-2}b=(1,5·6)a^{1+(-2)}{b}^{-3+1}= \\ =9a^{-1}{b}^{-2}=\frac{9}{a{b}^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{3}{4}{m}^{-2}{n}^4·8m^3{n}^{-2}=\left(\frac{3}{4}·8\right)m^{-2+3}{n}^{4+(-2)}=6m{n}^2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,6c^2{d}^4·\frac{1}{3}{c}^{-2}{d}^{-4}=\left(0,6·\frac{1}{3}\right)c^{2+(-2)}{d}^{4+(-4)}= \\ =\left(\frac{6}{10}·\frac{1}{3}\right)c^0{d}^0=0,2 \end{gathered}$$

г) $3,2x^{-1}{y}^{-5}·\frac{5}{8}xy=\left(3,2·\frac{5}{8}\right)x^{-1+1}{y}^{-5+1}=2y^{-4}=\frac{2}{y^4}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{1}{2}{p}^{-1}{q}^{-3}·\frac{1}{6}{p}^2{q}^{-5}=\left(\frac{1}{2}·\frac{1}{6}\right)p^{-1+2}{q}^{-3+(-5)}= \\ =\frac{1}{12}p{q}^{-8}=\frac{p}{12q^8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}3\frac{1}{3}{a}^5{b}^{-18}·0,6a^{-1}{b}^{20}= \\ =\left(\frac{10}{3}·0,6\right)a^{5+(-1)}{b}^{-18+20}=2a^4{b}^2 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $1,5ab^{-3} \cdot 6a^{-2}b$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала сгруппируем множители: $(1,5 \cdot 6) \cdot (a \cdot a^{-2}) \cdot (b^{-3} \cdot b)$.
1. Выполним умножение числовых коэффициентов: $1,5 \cdot 6 = 9$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Для переменной $a$: $a^1 \cdot a^{-2} = a^{1+(-2)} = a^{-1}$.
Для переменной $b$: $b^{-3} \cdot b^1 = b^{-3+1} = b^{-2}$.
3. Объединим полученные результаты: $9 \cdot a^{-1} \cdot b^{-2} = 9a^{-1}b^{-2}$.
Ответ: $9a^{-1}b^{-2}$

б) Упростим выражение $\frac{3}{4}m^{-2}n^4 \cdot 8m^3n^{-2}$.
Сгруппируем множители по коэффициентам и переменным: $(\frac{3}{4} \cdot 8) \cdot (m^{-2} \cdot m^3) \cdot (n^4 \cdot n^{-2})$.
1. Перемножим коэффициенты: $\frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = 3 \cdot 2 = 6$.
2. Перемножим степени с основанием $m$: $m^{-2} \cdot m^3 = m^{-2+3} = m^1 = m$.
3. Перемножим степени с основанием $n$: $n^4 \cdot n^{-2} = n^{4+(-2)} = n^2$.
4. Соединим все части: $6mn^2$.
Ответ: $6mn^2$

в) Упростим выражение $0,6c^2d^4 \cdot \frac{1}{3}c^{-2}d^{-4}$.
Сгруппируем множители: $(0,6 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (c^2 \cdot c^{-2}) \cdot (d^4 \cdot d^{-4})$.
1. Перемножим коэффициенты. Для удобства представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби $\frac{6}{10}$ или $\frac{3}{5}$: $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$.
2. Перемножим степени с основанием $c$: $c^2 \cdot c^{-2} = c^{2+(-2)} = c^0 = 1$ (при условии, что $c \neq 0$).
3. Перемножим степени с основанием $d$: $d^4 \cdot d^{-4} = d^{4+(-4)} = d^0 = 1$ (при условии, что $d \neq 0$).
4. Объединим результаты: $0,2 \cdot 1 \cdot 1 = 0,2$.
Ответ: $0,2$

г) Упростим выражение $3,2x^{-1}y^{-5} \cdot \frac{5}{8}xy$.
Сгруппируем множители: $(3,2 \cdot \frac{5}{8}) \cdot (x^{-1} \cdot x) \cdot (y^{-5} \cdot y)$.
1. Перемножим коэффициенты, представив $3,2$ в виде дроби $\frac{32}{10}$ или $\frac{16}{5}$: $\frac{16}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{16}{8} = 2$.
2. Перемножим степени с основанием $x$: $x^{-1} \cdot x^1 = x^{-1+1} = x^0 = 1$ (при $x \neq 0$).
3. Перемножим степени с основанием $y$: $y^{-5} \cdot y^1 = y^{-5+1} = y^{-4}$.
4. Объединим полученные части: $2 \cdot 1 \cdot y^{-4} = 2y^{-4}$.
Ответ: $2y^{-4}$

д) Упростим выражение $\frac{1}{2}p^{-1}q^{-3} \cdot \frac{1}{6}p^2q^{-5}$.
Сгруппируем множители: $(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}) \cdot (p^{-1} \cdot p^2) \cdot (q^{-3} \cdot q^{-5})$.
1. Перемножим коэффициенты: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
2. Перемножим степени с основанием $p$: $p^{-1} \cdot p^2 = p^{-1+2} = p^1 = p$.
3. Перемножим степени с основанием $q$: $q^{-3} \cdot q^{-5} = q^{-3+(-5)} = q^{-8}$.
4. Соберем результат: $\frac{1}{12}pq^{-8}$.
Ответ: $\frac{1}{12}pq^{-8}$

е) Упростим выражение $3\frac{1}{3}a^5b^{-18} \cdot 0,6a^{-1}b^{20}$.
Сгруппируем множители: $(3\frac{1}{3} \cdot 0,6) \cdot (a^5 \cdot a^{-1}) \cdot (b^{-18} \cdot b^{20})$.
1. Перемножим коэффициенты, предварительно представив их в виде обыкновенных дробей: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $0,6 = \frac{6}{10}$.
Произведение коэффициентов: $\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 10} = \frac{6}{3} = 2$.
2. Перемножим степени с основанием $a$: $a^5 \cdot a^{-1} = a^{5+(-1)} = a^4$.
3. Перемножим степени с основанием $b$: $b^{-18} \cdot b^{20} = b^{-18+20} = b^2$.
4. Объединим все части: $2a^4b^2$.
Ответ: $2a^4b^2$