Номер 1210, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1210, страница 269.

1210. Представьте степень в виде произведения:

a) ${\left(a^{-1}{b}^{-1}\right)}^{-2}=a^2{b}^2$

б) ${\left(x^3{y}^{-1}\right)}^2=x^6{y}^{-2}$

в) ${\left(0,5a^{-3}{b}^5\right)}^{-12}=0,5^{-12}{a}^{36}{b}^{-60}=2^{12}{a}^{36}{b}^{-60}$

г) ${\left(-2m^5{n}^{-3}\right)}^2=4m^{10}{n}^{-6}$

д) ${\left(\frac{1}{3}{p}^{-2}{q}^2\right)}^{-3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}{p}^6{q}^{-6}=27p^6{q}^{-6}$

е) ${\left(-0,5x^{-3}{y}^4\right)}^3={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3{x}^{-9}{y}^{12}=-\frac{1}{8}{x}^{-9}{y}^{12}$

а) Чтобы представить степень $(a^{-1}b^{-1})^{-2}$ в виде произведения, необходимо возвести каждый множитель, находящийся в скобках, во внешнюю степень. Для этого мы используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

Применяя эти правила, получаем:
$(a^{-1}b^{-1})^{-2} = (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-1})^{-2} = a^{(-1) \cdot (-2)} b^{(-1) \cdot (-2)} = a^2 b^2$.

Ответ: $a^2b^2$.

б) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $(x^{3}y^{-1})^{2}$ применяем те же свойства степеней.

$(x^{3}y^{-1})^{2} = (x^3)^2 \cdot (y^{-1})^2 = x^{3 \cdot 2} \cdot y^{-1 \cdot 2} = x^6y^{-2}$.

Ответ: $x^6y^{-2}$.

в) В выражении $(0,5a^{-3}b^{5})^{-12}$ необходимо возвести в степень $-12$ каждый из трех множителей: числовой коэффициент $0,5$ и переменные $a^{-3}$ и $b^5$.

$(0,5a^{-3}b^{5})^{-12} = (0,5)^{-12} \cdot (a^{-3})^{-12} \cdot (b^{5})^{-12}$.

Вычислим значение для каждого множителя по отдельности:
$(0,5)^{-12} = (\frac{1}{2})^{-12} = 2^{12} = 4096$.
$(a^{-3})^{-12} = a^{(-3) \cdot (-12)} = a^{36}$.
$(b^{5})^{-12} = b^{5 \cdot (-12)} = b^{-60}$.

Объединив результаты, получаем: $4096a^{36}b^{-60}$.

Ответ: $4096a^{36}b^{-60}$.

г) Для выражения $(-2m^{5}n^{-3})^{2}$ возводим в квадрат коэффициент $-2$ и каждую переменную в соответствующей степени.

$(-2m^{5}n^{-3})^{2} = (-2)^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (n^{-3})^2 = 4 \cdot m^{5 \cdot 2} \cdot n^{-3 \cdot 2} = 4m^{10}n^{-6}$.

Ответ: $4m^{10}n^{-6}$.

д) В выражении $(\frac{1}{3}p^{-2}q^{2})^{-3}$ возводим в степень $-3$ коэффициент $\frac{1}{3}$ и переменные.

$(\frac{1}{3}p^{-2}q^{2})^{-3} = (\frac{1}{3})^{-3} \cdot (p^{-2})^{-3} \cdot (q^{2})^{-3}$.

Вычислим каждый множитель:
$(\frac{1}{3})^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^3 = 27$.
$(p^{-2})^{-3} = p^{(-2) \cdot (-3)} = p^6$.
$(q^{2})^{-3} = q^{2 \cdot (-3)} = q^{-6}$.

Таким образом, результат: $27p^6q^{-6}$.

Ответ: $27p^6q^{-6}$.

е) Для выражения $(-0,5x^{-3}y^{4})^{3}$ возводим в куб каждый множитель в скобках.

$(-0,5x^{-3}y^{4})^{3} = (-0,5)^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^4)^3$.

Вычисляем значения:
$(-0,5)^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8} = -0,125$.
$(x^{-3})^3 = x^{-3 \cdot 3} = x^{-9}$.
$(y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}$.

Итоговое выражение: $-0,125x^{-9}y^{12}$.

Ответ: $-0,125x^{-9}y^{12}$.