Номер 1216, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1216, страница 269.

1216. Преобразуйте выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}·12x{y}^5=\frac{2^{-2}{x}^2}{3^{-2}{y}^4}·12x{y}^5= \\ ={\left(\frac{3}{2}\right)}^2{x}^3·12y=\frac{9}{4}·12x^{3}y=27x^{3}y \end{gathered}$$

б) $4a^7{b}^{-1}·{\left(\frac{ab}{5}\right)}^{-1}=4a^7{b}^{-1}·\frac{5}{ab}=20a^6{b}^{-2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(2a^{-2}{b}^3\right)}^2·{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-6}=4a^{-4}{b}^6·\frac{a^{-6}}{b^{-6}}= \\ =4a^{-4-6}{b}^{6-\left(-6\right)}=4a^{-10}{b}^{12} \end{gathered}$$

г) ${\left(\frac{2x^2}{y^3}\right)}^{-1}·{\left(x^{-1}y\right)}^3=\frac{1}{2}·\frac{y^{-2}}{y^{-3}}·x^{-3}{y}^3=\frac{1}{2}{x}^{-5}{y}^6$

а) $(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} \cdot 12xy^5$

Сначала преобразуем первый множитель. При возведении дроби в отрицательную степень, мы можем перевернуть дробь и поменять знак степени на положительный:

$(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}})^{-2} = (\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}})^{2}$

Теперь возведем каждый член дроби в квадрат, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{3y^{-2}}{2x^{-1}})^{2} = \frac{3^2 \cdot (y^{-2})^2}{2^2 \cdot (x^{-1})^2} = \frac{9y^{-4}}{4x^{-2}}$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы избавиться от отрицательных степеней:

$\frac{9y^{-4}}{4x^{-2}} = \frac{9/y^4}{4/x^2} = \frac{9}{y^4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{9x^2}{4y^4}$

Теперь умножим полученное выражение на второй множитель $12xy^5$:

$\frac{9x^2}{4y^4} \cdot 12xy^5 = \frac{9x^2 \cdot 12xy^5}{4y^4}$

Сократим коэффициенты и сгруппируем переменные, используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{9 \cdot 12}{4} \cdot (x^2 \cdot x) \cdot \frac{y^5}{y^4} = 27 \cdot x^{2+1} \cdot y^{5-4} = 27x^3y^1 = 27x^3y$

Ответ: $27x^3y$

б) $4a^7b^{-1} \cdot (\frac{ab}{5})^{-1}$

Преобразуем второй множитель, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:

$(\frac{ab}{5})^{-1} = \frac{5}{ab}$

Также преобразуем первый множитель, используя свойство $b^{-1} = \frac{1}{b}$:

$4a^7b^{-1} = \frac{4a^7}{b}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{4a^7}{b} \cdot \frac{5}{ab} = \frac{4a^7 \cdot 5}{b \cdot ab} = \frac{20a^7}{ab^2}$

Сократим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{20a^{7-1}}{b^2} = \frac{20a^6}{b^2}$

Ответ: $\frac{20a^6}{b^2}$

в) $(2a^{-2}b^3)^2 \cdot (\frac{a}{b})^{-6}$

Сначала преобразуем первый множитель, возведя его в квадрат. Для этого каждый множитель в скобках возводим в квадрат:

$(2a^{-2}b^3)^2 = 2^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot (b^3)^2 = 4 \cdot a^{-2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} = 4a^{-4}b^6$

Теперь преобразуем второй множитель, возведя дробь в степень $-6$. Это эквивалентно возведению перевернутой дроби в степень $6$:

$(\frac{a}{b})^{-6} = (\frac{b}{a})^6 = \frac{b^6}{a^6}$

Перемножим полученные выражения:

$4a^{-4}b^6 \cdot \frac{b^6}{a^6}$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{4b^6}{a^4} \cdot \frac{b^6}{a^6} = \frac{4 \cdot b^6 \cdot b^6}{a^4 \cdot a^6}$

Используем свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для переменных $a$ и $b$:

$\frac{4b^{6+6}}{a^{4+6}} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}$

Ответ: $\frac{4b^{12}}{a^{10}}$

г) $(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} \cdot (x^{-1}y)^3$

Преобразуем первый множитель, возведя дробь в степень $-1$, что равносильно переворачиванию дроби:

$(\frac{2x^2}{y^3})^{-1} = \frac{y^3}{2x^2}$

Преобразуем второй множитель, возведя его в куб. Для этого каждый множитель в скобках возводим в куб:

$(x^{-1}y)^3 = (x^{-1})^3 \cdot y^3 = x^{-1 \cdot 3} \cdot y^3 = x^{-3}y^3$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{-3}y^3 = \frac{y^3}{x^3}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{y^3}{2x^2} \cdot \frac{y^3}{x^3} = \frac{y^3 \cdot y^3}{2x^2 \cdot x^3}$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для переменных $x$ и $y$:

$\frac{y^{3+3}}{2x^{2+3}} = \frac{y^6}{2x^5}$

Ответ: $\frac{y^6}{2x^5}$