Номер 1215, страница 269 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1215, страница 269.

1215. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{\left(0,25x^{-4}{y}^{-3}\right)}^2·{\left(\frac{x^{-3}}{4y^2}\right)}^{-3}= \\ =0,0625x^{-8}{y}^{-6}·\frac{x^9}{4^{-3}{y}^{-6}}= \\ =0,0625·4^3{x}^{-8+9}{y}^{-6-\left(-6\right)}=4x{y}^{-6+6}=4x \end{gathered}$$

б) ${\left(\frac{a^{-3}{b}^4}{9}\right)}^{-2}·{\left(\frac{3}{a^{-2}{b}^3}\right)}^{-3}={\left(\frac{9}{a^{-3}{b}^4}\right)}^2·{\left(\frac{a^{-2}{b}^3}{3}\right)}^3=$
$=\frac{81}{a^{-6}{b}^8}·\frac{a^{-6}{b}^9}{27}=3a^{-6-\left(-6\right)}{b}^{9-8}=3b$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(\frac{c^{-4}}{10a^5{b}^2}\right)}^{-2}·{\left(5a^{3}b{c}^2\right)}^{-2}={\left(\frac{c^{-4}·5a^{3}b{c}^2}{10a^5{b}^2}\right)}^{-2}= \\ ={\left(0,5a^{3-5}{b}^{1-2}{c}^{-4+2}\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}{a}^{-2}{b}^{-1}{c}^{-2}\right)}^{-2}= \\ ={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}{a}^4{b}^2{c}^4=4a^4{b}^2{c}^4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(\frac{x^2{y}^{-3}}{6z}\right)}^{-3}·{\left(\frac{x^2{y}^{-2}}{9z}\right)}^2=\frac{x^{-6}{y}^9}{6^{-3}{z}^{-3}}·\frac{x^4{y}^{-4}}{9^2{z}^2}= \\ =\frac{6^3{x}^{-6+4}{y}^{-3-4}}{9^2{z}^{-3+2}}=\frac{216x^{-2}{y}^5}{81z^{-1}}=\frac{8}{3}{x}^{-2}{y}^{5}z \end{gathered}$$

а) $(0,25x^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$((\frac{1}{4})x^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$

Возведем в степень каждый множитель в первой скобке, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{4})^2 \cdot (x^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = \frac{1}{16} x^{-4 \cdot 2} y^{-3 \cdot 2} = \frac{1}{16}x^{-8}y^{-6}$

Для второй скобки воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, чтобы избавиться от отрицательной степени:

$(\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{x^{-3}})^3 = \frac{4^3 (y^2)^3}{(x^{-3})^3} = \frac{64y^{2 \cdot 3}}{x^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{x^{-9}}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{1}{16}x^{-8}y^{-6} \cdot \frac{64y^6}{x^{-9}} = \frac{64}{16} \cdot \frac{x^{-8}}{x^{-9}} \cdot y^{-6}y^6$

Упростим, используя свойства $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m a^n = a^{m+n}$:

$4 \cdot x^{-8 - (-9)} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot x^{-8+9} \cdot y^0 = 4x^1 \cdot 1 = 4x$

Ответ: $4x$

б) $(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3}$

Применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ к обоим множителям:

$(\frac{9}{a^{-3}b^4})^{2} \cdot (\frac{a^{-2}b^3}{3})^{3}$

Возведем в степень числитель и знаменатель в каждой дроби, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{9^2}{(a^{-3})^2(b^4)^2} \cdot \frac{(a^{-2})^3(b^3)^3}{3^3} = \frac{81}{a^{-6}b^8} \cdot \frac{a^{-6}b^9}{27}$

Теперь перемножим дроби, сокращая коэффициенты и группируя переменные:

$\frac{81}{27} \cdot \frac{a^{-6}}{a^{-6}} \cdot \frac{b^9}{b^8} = 3 \cdot a^{-6 - (-6)} \cdot b^{9-8} = 3 \cdot a^0 \cdot b^1 = 3 \cdot 1 \cdot b = 3b$

Ответ: $3b$

в) $(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2} \cdot (5a^3bc^2)^{-2}$

Упростим первый множитель, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{10a^5b^2}{c^{-4}})^2 = \frac{10^2(a^5)^2(b^2)^2}{(c^{-4})^2} = \frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}}$

Упростим второй множитель, используя свойство $(abc)^{-n} = a^{-n}b^{-n}c^{-n}$:

$(5a^3bc^2)^{-2} = 5^{-2}(a^3)^{-2}b^{-2}(c^2)^{-2} = \frac{1}{25}a^{-6}b^{-2}c^{-4}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}} \cdot \frac{1}{25}a^{-6}b^{-2}c^{-4} = \frac{100}{25} \cdot a^{10}a^{-6} \cdot b^4b^{-2} \cdot \frac{c^{-4}}{c^{-8}}$

Сгруппируем и упростим степени:

$4 \cdot a^{10-6} \cdot b^{4-2} \cdot c^{-4 - (-8)} = 4 \cdot a^4 \cdot b^2 \cdot c^{4} = 4a^4b^2c^4$

Ответ: $4a^4b^2c^4$

г) $(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3} \cdot (\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2$

Упростим первый множитель, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{6z}{x^2y^{-3}})^3 = \frac{6^3z^3}{(x^2)^3(y^{-3})^3} = \frac{216z^3}{x^6y^{-9}}$

Упростим второй множитель:

$(\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2 = \frac{(x^2)^2(y^{-2})^2}{9^2z^2} = \frac{x^4y^{-4}}{81z^2}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{216z^3}{x^6y^{-9}} \cdot \frac{x^4y^{-4}}{81z^2} = \frac{216}{81} \cdot \frac{x^4}{x^6} \cdot \frac{y^{-4}}{y^{-9}} \cdot \frac{z^3}{z^2}$

Сократим числовой коэффициент: $\frac{216}{81} = \frac{24 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{24}{9} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.

Упростим степени переменных, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^4}{x^6} = x^{4-6} = x^{-2}$

$\frac{y^{-4}}{y^{-9}} = y^{-4 - (-9)} = y^{-4+9} = y^5$

$\frac{z^3}{z^2} = z^{3-2} = z^1 = z$

Соберем все вместе:

$\frac{8}{3}x^{-2}y^5z = \frac{8y^5z}{3x^2}$

Ответ: $\frac{8y^5z}{3x^2}$