Номер 1218, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1218, страница 270.

1218. Решите уравнение

$$\begin{gathered} \frac{2x-7}{x+1}+\frac{3x+2}{x-1}=7 \\ \left(2x-7\right)\left(x-1\right)+\left(3x+2\right)\left(x+1\right)=7\left(x+1\right)\left(x-1\right) \\ 2x^2-2x-7x+7+3x^2+3x+2x+2=7\left(x^2-1\right) \\ 5x^2-9x+5x+9=7x^2-7 \\ 5x^2-7x^2-4x+9+7=0 \\ -2x^2-4x+16=0 \\ {x}^2+2x-8=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-8\right)=4+32=36 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{-2\pm 6}{2} \\ {x}_1=2; x_2=-4 \end{gathered}$$

Если x=2, то $\left(x+1\right)\left(x-1\right)=\left(2+1\right)\left(2-1\right)\mathrm{\ne }0(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)\; \backslash neq\; 0$,

если x=-4, то $\left(x+1\right)\left(x-1\right)=\left(-4+1\right)\left(-4-1\right)\mathrm{\ne }0(x+1)(x-1)=(-4+1)(-4-1)\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -4; 2

Дано уравнение:$$ \frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7 $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Следовательно, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, кроме $1$ и $-1$.

Теперь решим уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$:$$ \frac{(2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = 7 $$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 1)(x - 1)$, так как мы знаем, что он не равен нулю в ОДЗ.$$ (2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x + 1)(x - 1) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$$ (2x^2 - 2x - 7x + 7) + (3x^2 + 3x + 2x + 2) = 7(x^2 - 1) $$

Приведем подобные слагаемые:$$ (2x^2 - 9x + 7) + (3x^2 + 5x + 2) = 7x^2 - 7 $$$$ 5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:$$ 7x^2 - 5x^2 + 4x - 7 - 9 = 0 $$$$ 2x^2 + 4x - 16 = 0 $$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:$$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $$Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} $$

Вычисляем два корня:$$ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$$$ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$

Оба полученных корня, $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$, принадлежат области допустимых значений (не равны $1$ и $-1$).

Ответ: -4; 2.