Номер 1219, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1219, страница 270.

1219. Найдите область определения функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-x} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-x\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ne x \end{gathered}$$

если $x>0x>0$, то $x\mathrm{\ne }xx\; \backslash neq\; x$

если , то $-x\ne x$,

$$\begin{gathered} -x-x\ne 0 \\ -2x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;0)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+x} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+x\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ne -x \end{gathered}$$

если $x>0x>0$, то $x\mathrm{\ne }-xx\; \backslash neq\; -x, x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$,

если , то $-x\mathrm{\ne }-x-x\; \backslash neq\; -x$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

Областью определения функции (ОДЗ) называется множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробей знаменатель не должен быть равен нулю.

а) $y = \frac{1}{|x| - x}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| - x$ обращается в ноль, и исключим их из области определения.
$|x| - x = 0$
$|x| = x$
Это равенство верно для всех неотрицательных чисел. То есть, при $x \ge 0$.
Рассмотрим это подробнее, раскрыв модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x - x = 0$. Это означает, что все неотрицательные значения $x$ (т.е. $x$ из промежутка $[0, +\infty)$) не входят в область определения функции.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x - x = -2x$. Поскольку $x < 0$, то $-2x$ никогда не равно нулю. Следовательно, все отрицательные значения $x$ входят в область определения.
Таким образом, область определения функции — это все отрицательные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0)$

б) $y = \frac{1}{|x| + x}$

Аналогично, найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| + x$ обращается в ноль, и исключим их.
$|x| + x = 0$
$|x| = -x$
Это равенство верно для всех неположительных чисел. То есть, при $x \le 0$.
Рассмотрим это подробнее, раскрыв модуль:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x + x = 2x$. Поскольку $x > 0$, то $2x$ никогда не равно нулю. Следовательно, все положительные значения $x$ входят в область определения.
2. Если $x \le 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x + x = 0$. Это означает, что все неположительные значения $x$ (т.е. $x$ из промежутка $(-\infty, 0]$) не входят в область определения функции.
Таким образом, область определения функции — это все положительные числа.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$