Номер 3, страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 3, страница 270.

3. Как возвести степень в степень?

${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

Возведение степени в степень — это математическая операция, при которой число, уже возведенное в одну степень, возводится в другую. Для выполнения этой операции существует простое и удобное правило.

Правило

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменения, а показатели степеней перемножить. Это правило можно записать в виде формулы:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

В этой формуле $a$ является основанием степени, а $m$ и $n$ — показателями степеней. Основание $a$ остается прежним, а показатели $m$ и $n$ умножаются друг на друга.

Примеры

1. Пример с числами:
Рассмотрим выражение $(3^2)^3$.
Применяем правило: основание (3) оставляем, показатели (2 и 3) перемножаем.
$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$
Чтобы убедиться в правильности, можно посчитать по шагам: $3^2 = 9$, следовательно $(3^2)^3 = 9^3 = 729$.
Результат по формуле: $3^6 = 729$.
Результаты совпадают.

2. Пример с переменной:
Рассмотрим выражение $(x^5)^4$.
Здесь основание — это переменная $x$. Применяем то же правило:
$(x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$

3. Пример с отрицательным показателем:
Рассмотрим выражение $(4^3)^{-2}$.
Правило работает и для отрицательных показателей:
$(4^3)^{-2} = 4^{3 \cdot (-2)} = 4^{-6}$
Вспомним, что степень с отрицательным показателем — это единица, деленная на ту же степень с положительным показателем:
$4^{-6} = \frac{1}{4^6} = \frac{1}{4096}$

Таким образом, операция возведения степени в степень сводится к простому умножению показателей при неизменном основании.

Ответ: Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить без изменения, а показатели перемножить. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.