Страница 270 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1218. Решите уравнение

$$\begin{gathered} \frac{2x-7}{x+1}+\frac{3x+2}{x-1}=7 \\ \left(2x-7\right)\left(x-1\right)+\left(3x+2\right)\left(x+1\right)=7\left(x+1\right)\left(x-1\right) \\ 2x^2-2x-7x+7+3x^2+3x+2x+2=7\left(x^2-1\right) \\ 5x^2-9x+5x+9=7x^2-7 \\ 5x^2-7x^2-4x+9+7=0 \\ -2x^2-4x+16=0 \\ {x}^2+2x-8=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-8\right)=4+32=36 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{-2\pm 6}{2} \\ {x}_1=2; x_2=-4 \end{gathered}$$

Если x=2, то $\left(x+1\right)\left(x-1\right)=\left(2+1\right)\left(2-1\right)\mathrm{\ne }0(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)\; \backslash neq\; 0$,

если x=-4, то $\left(x+1\right)\left(x-1\right)=\left(-4+1\right)\left(-4-1\right)\mathrm{\ne }0(x+1)(x-1)=(-4+1)(-4-1)\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -4; 2

Дано уравнение:$$ \frac{2x - 7}{x + 1} + \frac{3x + 2}{x - 1} = 7 $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Следовательно, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, кроме $1$ и $-1$.

Теперь решим уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$:$$ \frac{(2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = 7 $$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 1)(x - 1)$, так как мы знаем, что он не равен нулю в ОДЗ.$$ (2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1) = 7(x + 1)(x - 1) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$$ (2x^2 - 2x - 7x + 7) + (3x^2 + 3x + 2x + 2) = 7(x^2 - 1) $$

Приведем подобные слагаемые:$$ (2x^2 - 9x + 7) + (3x^2 + 5x + 2) = 7x^2 - 7 $$$$ 5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:$$ 7x^2 - 5x^2 + 4x - 7 - 9 = 0 $$$$ 2x^2 + 4x - 16 = 0 $$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:$$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $$Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} $$

Вычисляем два корня:$$ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$$$ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$

Оба полученных корня, $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$, принадлежат области допустимых значений (не равны $1$ и $-1$).

Ответ: -4; 2.

1219. Найдите область определения функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-x} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-x\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ne x \end{gathered}$$

если $x>0x>0$, то $x\mathrm{\ne }xx\; \backslash neq\; x$

если , то $-x\ne x$,

$$\begin{gathered} -x-x\ne 0 \\ -2x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)(-\backslash infty;0)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{1}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+x} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+x\ne 0 \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\ne -x \end{gathered}$$

если $x>0x>0$, то $x\mathrm{\ne }-xx\; \backslash neq\; -x, x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$,

если , то $-x\mathrm{\ne }-x-x\; \backslash neq\; -x$

Ответ: $\left(0; +\mathrm{\infty }\right)(0;+\backslash infty)$

Областью определения функции (ОДЗ) называется множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробей знаменатель не должен быть равен нулю.

а) $y = \frac{1}{|x| - x}$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| - x$ обращается в ноль, и исключим их из области определения.
$|x| - x = 0$
$|x| = x$
Это равенство верно для всех неотрицательных чисел. То есть, при $x \ge 0$.
Рассмотрим это подробнее, раскрыв модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x - x = 0$. Это означает, что все неотрицательные значения $x$ (т.е. $x$ из промежутка $[0, +\infty)$) не входят в область определения функции.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x - x = -2x$. Поскольку $x < 0$, то $-2x$ никогда не равно нулю. Следовательно, все отрицательные значения $x$ входят в область определения.
Таким образом, область определения функции — это все отрицательные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0)$

б) $y = \frac{1}{|x| + x}$

Аналогично, найдем значения $x$, при которых знаменатель $|x| + x$ обращается в ноль, и исключим их.
$|x| + x = 0$
$|x| = -x$
Это равенство верно для всех неположительных чисел. То есть, при $x \le 0$.
Рассмотрим это подробнее, раскрыв модуль:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда знаменатель равен $x + x = 2x$. Поскольку $x > 0$, то $2x$ никогда не равно нулю. Следовательно, все положительные значения $x$ входят в область определения.
2. Если $x \le 0$, то $|x| = -x$. Тогда знаменатель равен $-x + x = 0$. Это означает, что все неположительные значения $x$ (т.е. $x$ из промежутка $(-\infty, 0]$) не входят в область определения функции.
Таким образом, область определения функции — это все положительные числа.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$

1220. Сократите дробь acabc, зная, что b = a + c.

$\frac{\overline{ac}}{\overline{abc}}=\frac{10a+c}{100a+10b+c}$

если $b=a+cb=a+c$, то

$$\begin{gathered} \frac{10a+c}{100a+10\left(a+c\right)+c}=\frac{10a+c}{100a+10a+10c+c}= \\ =\frac{10a+c}{110a+11c}=\frac{10a+c}{11\left(10a+c\right)}=\frac{1}{11} \end{gathered}$$

В данной задаче $\overline{ac}$ и $\overline{abc}$ обозначают числа, составленные из цифр $a, c$ и $a, b, c$ соответственно.

Для того чтобы сократить дробь, представим ее числитель и знаменатель в виде алгебраических выражений, соответствующих их десятичной записи.

Числитель $\overline{ac}$ является двузначным числом, значение которого можно записать как:
$\overline{ac} = 10a + c$

Знаменатель $\overline{abc}$ является трехзначным числом, его значение:
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Таким образом, исходная дробь имеет вид:
$\frac{\overline{ac}}{\overline{abc}} = \frac{10a + c}{100a + 10b + c}$

Теперь воспользуемся условием, данным в задаче: $b = a + c$. Подставим это выражение для $b$ в знаменатель дроби:
$100a + 10b + c = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в знаменателе:
$100a + 10(a + c) + c = 100a + 10a + 10c + c = 110a + 11c$

Вынесем общий множитель 11 за скобки в знаменателе:
$110a + 11c = 11(10a + c)$

Теперь подставим преобразованный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{10a + c}{100a + 10b + c} = \frac{10a + c}{11(10a + c)}$

Сократим дробь на общий множитель $(10a + c)$. Этот множитель не равен нулю, так как $a$ — это первая цифра в двузначном и трехзначном числе, значит $a \ge 1$, и $c \ge 0$, следовательно $10a + c > 0$.
$\frac{1 \cdot (10a + c)}{11 \cdot (10a + c)} = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$

1. Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

Определение. Если а≠0 и n - целое отрицательное число, то $a^n=\frac{1}{a^{-n}}.$

1

Определение степени с целым отрицательным показателем формулируется следующим образом: степенью числа ??, не равного нулю, с целым отрицательным показателем $-n$ называется число, обратное степени этого же числа ?? с положительным показателем $n$.

Это определение выражается математической формулой, которая справедлива для любого числа $a \neq 0$ и любого натурального (целого положительного) числа $n$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

При этом важно учитывать два ключевых момента. Во-первых, основание степени $a$ не может быть равно нулю ($a \neq 0$). Это требование является критическим, так как в противном случае знаменатель дроби $a^n$ в правой части формулы обратился бы в ноль, а деление на ноль является неопределенной математической операцией. Во-вторых, показатель степени $-n$ является целым отрицательным числом, что означает, что само число $n$ — это натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Введение степени с отрицательным показателем позволяет обобщить и сохранить все основные свойства степеней (например, умножение, деление, возведение в степень) для любых целых, а не только натуральных показателей. Например, свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$ становится универсальным. Если мы рассмотрим частное $\frac{a^2}{a^5}$, то по этому правилу получим $a^{2-5} = a^{-3}$. С другой стороны, по определению дроби, $\frac{a^2}{a^5} = \frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a^3}$. Для того чтобы эти два результата были равны, необходимо принять, что $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$, что и подтверждает логичность определения.

Пример: Вычислить $5^{-2}$.
Согласно определению, $a=5$ и $n=2$. Таким образом: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: Степенью числа $a$ (при $a \neq 0$) с целым отрицательным показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) называется дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень числа $a$ с показателем $n$. Формула: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

2. Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями.

Для каждого a≠0 и любых целых m и n

$$\begin{gathered} a^m·a^n=a^{m+n}, \\ {a}^m:a^n=a^{m-n} \end{gathered}$$

Для любого числа $a$, не равного нулю, и любых целых чисел $n$ и $m$ справедливы следующие свойства.

Свойство произведения степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Это означает, что для любого числа $a \neq 0$ и любых целых показателей $n$ и $m$ произведение степеней $a^n$ и $a^m$ равно степени с тем же основанием $a$ и показателем, равным сумме показателей $n$ и $m$.

Ответ: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

Свойство частного степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это означает, что для любого числа $a \neq 0$ и любых целых показателей $n$ и $m$ частное от деления степени $a^n$ на степень $a^m$ равно степени с тем же основанием $a$ и показателем, равным разности показателей $n$ и $m$.

Ответ: $a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

3. Как возвести степень в степень?

${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

Возведение степени в степень — это математическая операция, при которой число, уже возведенное в одну степень, возводится в другую. Для выполнения этой операции существует простое и удобное правило.

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменения, а показатели степеней перемножить. Это правило можно записать в виде формулы:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

В этой формуле $a$ является основанием степени, а $m$ и $n$ — показателями степеней. Основание $a$ остается прежним, а показатели $m$ и $n$ умножаются друг на друга.

1. Пример с числами:
Рассмотрим выражение $(3^2)^3$.
Применяем правило: основание (3) оставляем, показатели (2 и 3) перемножаем.
$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$
Чтобы убедиться в правильности, можно посчитать по шагам: $3^2 = 9$, следовательно $(3^2)^3 = 9^3 = 729$.
Результат по формуле: $3^6 = 729$.
Результаты совпадают.

2. Пример с переменной:
Рассмотрим выражение $(x^5)^4$.
Здесь основание — это переменная $x$. Применяем то же правило:
$(x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$

3. Пример с отрицательным показателем:
Рассмотрим выражение $(4^3)^{-2}$.
Правило работает и для отрицательных показателей:
$(4^3)^{-2} = 4^{3 \cdot (-2)} = 4^{-6}$
Вспомним, что степень с отрицательным показателем — это единица, деленная на ту же степень с положительным показателем:
$4^{-6} = \frac{1}{4^6} = \frac{1}{4096}$

Таким образом, операция возведения степени в степень сводится к простому умножению показателей при неизменном основании.

Ответ: Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить без изменения, а показатели перемножить. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

4. Как возвести произведение и частное в степень?

Для каждого a≠0, b≠0, и любого целого n

$$\begin{gathered} {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n \\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}. \end{gathered}$$

Для возведения произведения и частного в степень существуют два основных правила, которые являются свойствами степени.

Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень, а затем перемножить полученные результаты.

Формула этого правила:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Это свойство верно для любого количества множителей в произведении. Например, для трех: $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.

Примеры:

• $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$

• $(5 \cdot 2)^3 = 5^3 \cdot 2^3 = 125 \cdot 8 = 1000$. Также можно посчитать иначе для проверки: $(5 \cdot 2)^3 = 10^3 = 1000$.

• $(-3ab^2)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = -27 \cdot a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = -27a^3b^6$

Ответ: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Возведение частного в степень

Чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель. Результатом будет дробь, где возведенный в степень числитель делится на возведенный в степень знаменатель.

Формула этого правила (при условии, что знаменатель $b$ не равен нулю):

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$

Примеры:

• $(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$

• $(\frac{12}{4})^3 = \frac{12^3}{4^3} = \frac{1728}{64} = 27$. Также можно посчитать иначе для проверки: $(\frac{12}{4})^3 = 3^3 = 27$.

• $(\frac{2x^3}{y^2})^4 = \frac{(2x^3)^4}{(y^2)^4} = \frac{2^4 \cdot (x^3)^4}{(y^2)^4} = \frac{16x^{12}}{y^8}$, где $y \neq 0$

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \neq 0$.