Страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1193. Найдите значение выражения:

a) $3^{-4}·3^6=3^{-4+6}=3^2=9$

б) $2^4·2^{-3}=2^{4+(-3)}=2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{10}^8·{10}^{-5}·{10}^{-6}={10}^{8+(-5)+(-6)}= \\ ={10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}=0,001 \end{gathered}$$

г) $2^{10}:2^{12}=2^{10-12}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$

д) $5^{-3} :5^{-3}=5^{-3-(-3)}=5^{-3+3}=5^0=1$

е) $3^{-4}: 3=3^{-4-1}=3^{-5}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$

ж) $(2^{-4}{)}^{-1}=2^4=16$

з) ${\left(5^2\right)}^{-2}·5^3=5^{-4}·5^3=5^{-4+3}=5^{-1}=\frac{1}{5}$

и) $3^{-4}·{\left(3^{-2}\right)}^{-4}=3^{-4}·3^8=3^{-4+8}=3^4=81$

а) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Таким образом, $3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

б) Используя то же свойство степеней, складываем показатели: $2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4+(-3)} = 2^{4-3} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

в) При умножении нескольких степеней с одинаковым основанием их показатели также складываются: $10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6} = 10^{8+(-5)+(-6)} = 10^{8-11} = 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$.
Ответ: 0.001

г) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$. Следовательно, $2^{10} : 2^{12} = 2^{10-12} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
Ответ: 0.25

д) Применяем правило деления степеней: $5^{-3} : 5^{-3} = 5^{-3-(-3)} = 5^{-3+3} = 5^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, поэтому $5^0=1$.
Ответ: 1

е) Число 3 можно представить как степень $3^1$. Тогда, используя правило деления степеней: $3^{-4} : 3 = 3^{-4} : 3^1 = 3^{-4-1} = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.
Ответ: $\frac{1}{243}$

ж) При возведении степени в степень показатели перемножаются по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Таким образом, $(2^{-4})^{-1} = 2^{(-4) \cdot (-1)} = 2^4 = 16$.
Ответ: 16

з) Сначала выполним возведение в степень, а затем умножение. По правилу возведения степени в степень, $(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$. Затем, по правилу умножения степеней, $5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$.
Ответ: 0.2

и) Сначала упростим выражение в скобках, возведя степень в степень: $(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$. Затем выполним умножение степеней с одинаковым основанием: $3^{-4} \cdot 3^8 = 3^{-4+8} = 3^4 = 81$.
Ответ: 81

1194. Вычислите:

a) $5^{-15}·5^{16}=5^{-15+16}=55^\{-15\}\; \backslash cdot\; 5^\{16\}=5^\{-15+16\}=5$

б) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}·{\left(\frac{1}{3}\right)}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4+3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3$

в) $4^{-8}:4^{-9}=4^{-8-\left(-9\right)}=4^{-8+9}=44^\{-8\}\; :\; 4^\{-9\}=4^\{-8-(-9)\}=4^\{-8+9\}=4$

г) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2:{\left(\frac{1}{5}\right)}^4={\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-4}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{25}}}=25$

д) ${\left(2^{-2}\right)}^{-3}=2^6=64$

e) ${\left(0,1^{-3}\right)}^{-1}=0,1^3=0,001$

а) Для вычисления произведения степеней с одинаковым основанием $5$ используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, показатели степеней складываются: $5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15+16} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

б) В данном случае также применяется правило умножения степеней с одинаковым основанием $(\frac{1}{3})$. Складываем показатели степеней: $(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3} = (\frac{1}{3})^{-4+3} = (\frac{1}{3})^{-1}$. Степень с отрицательным показателем равна обратному числу, возведенному в степень с положительным показателем, то есть $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Таким образом, $(\frac{1}{3})^{-1} = (\frac{3}{1})^1 = 3$.
Ответ: 3

в) При делении степеней с одинаковым основанием $4$ их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$. Выполним вычитание показателей: $4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{-8+9} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4

г) Аналогично предыдущему пункту, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{1}{5})$, где показатели вычитаются: $(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4} = (\frac{1}{5})^{2-4} = (\frac{1}{5})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем $(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

д) При возведении степени в степень их показатели перемножаются, согласно свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножаем показатели: $(2^{-2})^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} = 2^6$. Вычисляем значение: $2^6 = 64$.
Ответ: 64

е) Используем то же свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Получаем $(0,1^{-3})^{-1} = 0,1^{(-3) \cdot (-1)} = 0,1^3$. Представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$ и возведем в куб: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1^3}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.
Ответ: 0,001

1195. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.

$a^{-n}·a^n=a^{-n+n}=a^0=1,$ где a≠0

Для того чтобы доказать, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны, необходимо показать, что их произведение равно единице. По определению, два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Пусть a — любое отличное от нуля число, то есть $a \neq 0$.

Пусть n — произвольный показатель степени. Тогда степени числа a с противоположными показателями будут $a^n$ и $a^{-n}$.

Найдем произведение этих двух степеней. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

Применяя это свойство к нашему случаю, получаем:

$a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^{n-n} = a^0$

По определению степени с нулевым показателем, любое число, не равное нулю, возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как по условию $a \neq 0$, то справедливо равенство:

$a^0 = 1$

Следовательно, мы доказали, что произведение степеней $a^n$ и $a^{-n}$ равно 1:

$a^n \cdot a^{-n} = 1$

Поскольку произведение этих двух чисел равно 1, они являются взаимно обратными. Это завершает доказательство.

Ответ: Пусть a — отличное от нуля число, а n и –n — противоположные показатели. Их произведение равно $a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^{n-n} = a^0 = 1$. Так как произведение этих степеней равно 1, они по определению являются взаимно обратными.

1196. Докажите, что ab⁻ⁿ = baⁿ при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n, a\ne 0, b\ne 0 \\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n \end{gathered}$$

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая часть может быть преобразована в правую с помощью свойств степени. Доказательство проводится для любого целого числа $n$ и при условиях $a \neq 0$ и $b \neq 0$, которые гарантируют, что знаменатели дробей не равны нулю.

Рассмотрим левую часть равенства: $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} $.

Воспользуемся одним из ключевых свойств степени: $ (x^p)^q = x^{p \cdot q} $. Представим показатель степени $-n$ в виде произведения $(-1) \cdot n$. Это позволяет нам переписать выражение следующим образом:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{(-1) \cdot n} = \left( \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} \right)^n $

Теперь проанализируем выражение, стоящее в скобках: $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} $. По определению степени с показателем -1, для любого ненулевого числа $x$ справедливо $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Применительно к дроби это означает нахождение обратной дроби:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a} $

Мы получили, что $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} $. Теперь подставим этот результат в наше преобразованное выражение:

$ \left( \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} \right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^n $

Таким образом, мы выполнили цепочку тождественных преобразований и показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $ доказано для любых целых $n$ и ненулевых $a$ и $b$.

1197. Вычислите:

a) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{27}}}=27$

б) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

в) $0,01^{-2}=\frac{1}{0,01^2}=\frac{1}{0,0001}=\frac{10000}{1}=100000,01^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{0,01^2\}=\backslash frac\{1\}\{0,0001\}=\backslash frac\{10000\}\{1\}=10000$

г) ${\left(1\frac{2}{3}\right)}^{-4}={\left(\frac{5}{3}\right)}^{-4}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^4}={\left(\frac{3}{5}\right)}^4=\frac{81}{625}$

д) $0,002^{-1}=\frac{1}{0,002}=\frac{1000}{2}=5000,002^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{0,002\}=\backslash frac\{1000\}\{2\}=500$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{\left(-1\frac{1}{3}\right)}^{-5}={\left(-\frac{4}{3}\right)}^{-5}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^5}=-\frac{1}{{\displaystyle -\frac{1024}{243}}}= \\ =-\frac{243}{1024} \end{gathered}$$

а) Для вычисления выражения $(\frac{1}{3})^{-3}$ используется свойство степени с отрицательным показателем. Для любой дроби $(\frac{a}{b})$ и целого числа $n$ справедливо равенство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Применяя это свойство, получаем:
$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

б) Для вычисления выражения $(\frac{3}{4})^{-1}$ воспользуемся тем же свойством степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
В данном случае $n=1$:
$(\frac{3}{4})^{-1} = (\frac{4}{3})^1 = \frac{4}{3}$.
Этот результат можно также записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

в) Чтобы вычислить $0,01^{-2}$, сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Теперь необходимо вычислить $(\frac{1}{100})^{-2}$.
Используя правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: 10000

г) Чтобы вычислить $(1\frac{2}{3})^{-4}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Теперь задача сводится к вычислению $(\frac{5}{3})^{-4}$.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$(\frac{5}{3})^{-4} = (\frac{3}{5})^4 = \frac{3^4}{5^4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{81}{625}$.
Ответ: $\frac{81}{625}$

д) Для вычисления $0,002^{-1}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной.
$0,002 = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$.
Теперь вычислим $(\frac{1}{500})^{-1}$.
По определению $a^{-1} = \frac{1}{a}$, поэтому:
$(\frac{1}{500})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{500}} = 500$.
Ответ: 500

е) Чтобы вычислить $(-1\frac{1}{3})^{-5}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Теперь необходимо вычислить $(-\frac{4}{3})^{-5}$.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$(-\frac{4}{3})^{-5} = (-\frac{3}{4})^5$.
Так как основание степени отрицательное, а показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.
$(-\frac{3}{4})^5 = -(\frac{3}{4})^5 = -\frac{3^5}{4^5} = -\frac{243}{1024}$.
Ответ: $-\frac{243}{1024}$

1198. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

a) $27·3^{-4}=3^3·3^{-4}=3^{3+(-4)}=3^{-1}=\frac{1}{3}$

б) ${\left(3^{-1}\right)}^5·{81}^2=3^{-5}·{\left(3^4\right)}^2=3^{-5}·3^8=3^{-5+8}=3^3=27$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{9}^{-2}:3^{-6}={\left(3^2\right)}^{-2}:3^{-6}=3^{-4}:3^{-6}=3^{-4-(-6)}= \\ =3^{-4+6}=3^2=9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{81}^3:{\left(9^{-2}\right)}^{-3}={\left(3^4\right)}^3:({\left(3^2\right)}^{-2}{)}^{-3}=3^{12}:3^{12}= \\ =3^{12-12}=3^0=1 \end{gathered}$$

а) $27 \cdot 3^{-4}$

Для решения задачи необходимо привести все множители к степеням с основанием 3. Число 27 можно представить как $3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3 + (-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$

Теперь найдем значение полученного выражения. Степень с отрицательным показателем $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$:

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

б) $(3^{-1})^5 \cdot 81^2$

Сначала преобразуем оба множителя к степеням с основанием 3. Для первого множителя используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(3^{-1})^5 = 3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5}$

Для второго множителя сначала представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$. Затем также применим свойство возведения степени в степень:

$81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$

Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:

$3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5 + 8} = 3^3$

Найдем значение выражения:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Ответ: $3^3 = 27$.

в) $9^{-2} : 3^{-6}$

Приведем делимое к степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то:

$9^{-2} = (3^2)^{-2}$

Используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем:

$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$

Теперь выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 - (-6)} = 3^{-4 + 6} = 3^2$

Найдем значение выражения:

$3^2 = 9$

Ответ: $3^2 = 9$.

г) $81^3 : (9^{-2})^{-3}$

Представим все числа в выражении как степени с основанием 3: $81 = 3^4$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$(3^4)^3 : ((3^2)^{-2})^{-3}$

Упростим делимое и делитель по отдельности, используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

Делимое: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$

Делитель: $((3^2)^{-2})^{-3} = (3^{2 \cdot (-2)})^{-3} = (3^{-4})^{-3} = 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12}$

Теперь выполним деление, вычитая показатели степеней:

$3^{12} : 3^{12} = 3^{12 - 12} = 3^0$

Найдем значение выражения. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$3^0 = 1$

Ответ: $3^0 = 1$.

1199. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:

a) $\frac{1}{16}·2^{10}=\frac{1}{2^4}·2^{10}=2^{-4}·2^{10}=2^{-4+10}=2^6=64$

б) $32·{\left(2^{-4}\right)}^2=2^5·2^{-8}=2^{5+\left(-8\right)}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

в) $8^{-1}·4^3={\left(2^3\right)}^{-1}·{\left(2^2\right)}^3=2^{-3}·2^6=2^{-3+6}=2^3=8$

г) $4^5·16^{-2}={\left(2^2\right)}^5·{\left(2^4\right)}^{-2}=2^{10}·2^{-8}=2^{10+\left(-8\right)}=2^2=4$

а)

Чтобы представить выражение $\frac{1}{16} \cdot 2^{10}$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 16 как степень двойки.
$16 = 2^4$.
По свойству степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{16} \cdot 2^{10} = 2^{-4} \cdot 2^{10}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{-4} \cdot 2^{10} = 2^{-4+10} = 2^6$.
Теперь найдем значение этого выражения:
$2^6 = 64$.
Ответ: $2^6 = 64$.

б)

Рассмотрим выражение $32 \cdot (2^{-4})^2$.
Представим число 32 в виде степени с основанием 2:
$32 = 2^5$.
Упростим вторую часть выражения, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^{-4})^2 = 2^{-4 \cdot 2} = 2^{-8}$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$2^5 \cdot 2^{-8}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$2^{5+(-8)} = 2^{5-8} = 2^{-3}$.
Найдем значение выражения:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

в)

Рассмотрим выражение $8^{-1} \cdot 4^3$.
Представим числа 8 и 4 в виде степеней с основанием 2:
$8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^3)^{-1} \cdot (2^2)^3$.
Применим свойство возведения степени в степень:
$2^{3 \cdot (-1)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-3} \cdot 2^6$.
Теперь умножим степени, сложив их показатели:
$2^{-3+6} = 2^3$.
Найдем значение выражения:
$2^3 = 8$.
Ответ: $2^3 = 8$.

г)

Рассмотрим выражение $4^5 \cdot 16^{-2}$.
Представим числа 4 и 16 в виде степеней с основанием 2:
$4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^2)^5 \cdot (2^4)^{-2}$.
Применим свойство возведения степени в степень:
$2^{2 \cdot 5} \cdot 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{10} \cdot 2^{-8}$.
Теперь умножим степени, сложив их показатели:
$2^{10+(-8)} = 2^{10-8} = 2^2$.
Найдем значение выражения:
$2^2 = 4$.
Ответ: $2^2 = 4$.

1200. Представьте выражение, в котором m — целое число, в виде степени с основанием 5:

a) $5^m·5^{m+1}·5^{1-m}=5^{m+m+1+1-m}=5^{m+2}5^m\; \backslash cdot\; 5^\{m+1\}\; \backslash cdot\; 5^\{1-m\}=5^\{m+m+1+1-m\}=5^\{m+2\}$

б) ${\left(5^m\right)}^2·{\left(5^{-3}\right)}^m=5^{2m}·5^{-3m}=5^{2m+\left(-3m\right)}=5^{-m}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}625:5^{4m-2}=5^4:5^{4m-2}=5^{4-\left(4m-2\right)}= \\ =5^{4-4m+2}=5^{6-4m} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить выражение $5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m}$ в виде степени с основанием 5, необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
Сложим показатели степеней в данном выражении:
$m + (m+1) + (1-m)$
Упростим полученное выражение:
$m + m + 1 + 1 - m = (m + m - m) + (1 + 1) = m + 2$
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде степени с основанием 5 и показателем $m+2$.
$5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m} = 5^{m + m + 1 + 1 - m} = 5^{m+2}$
Ответ: $5^{m+2}$

б) В выражении $(5^m)^2 \cdot (5^{-3})^m$ сначала нужно применить свойство возведения степени в степень: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$. При применении этого свойства показатели степеней перемножаются.
Применим это свойство к каждому множителю:
$(5^m)^2 = 5^{m \cdot 2} = 5^{2m}$
$(5^{-3})^m = 5^{-3 \cdot m} = 5^{-3m}$
Теперь выражение имеет вид: $5^{2m} \cdot 5^{-3m}$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ и сложим показатели:
$2m + (-3m) = 2m - 3m = -m$
Таким образом, получаем:
$(5^m)^2 \cdot (5^{-3})^m = 5^{2m} \cdot 5^{-3m} = 5^{-m}$
Ответ: $5^{-m}$

в) Для упрощения выражения $625 : 5^{4m-2}$ сначала представим число 625 в виде степени с основанием 5.
$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Теперь заменим 625 на $5^4$ в исходном выражении:
$5^4 : 5^{4m-2}$
Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^x : a^y = a^{x-y}$. Согласно этому свойству, из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
$4 - (4m - 2)$
Раскроем скобки и упростим выражение в показателе:
$4 - 4m + 2 = 6 - 4m$
Таким образом, исходное выражение равно:
$625 : 5^{4m-2} = 5^4 : 5^{4m-2} = 5^{4-(4m-2)} = 5^{6-4m}$
Ответ: $5^{6-4m}$

1201. Вычислите:

a) $8^{-2}·4^3={\left(2^3\right)}^{-2}·{\left(2^2\right)}^3=2^{-6}·2^6=2^{-6+6}=2^0=1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{9}^{-6}·27^5={\left(3^2\right)}^{-6}·{\left(3^3\right)}^5=3^{-12}·3^{15}= \\ =3^{-12+15}=3^3=27 \end{gathered}$$

в) $10^0:10^{-3}=10^{0-\left(-3\right)}=10^3=100010^0:\; 10^\{-3\}=10^\{0-(-3)\}=10^3=1000$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}125^{-4}:25^{-5}={\left(5^3\right)}^{-4}:{\left(5^2\right)}^{-5}=5^{-12}:5^{-10}= \\ =5^{-12-\left(-10\right)}=5^{-12+10}=5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2^{-21}}{4^{-5}·4^{-6}}=\frac{2^{-21}}{{\left(2^2\right)}^{-5}·{\left(2^2\right)}^{-6}}=\frac{2^{-21}}{2^{-10}·2^{-12}}= \\ =\frac{2^{-21}}{2^{-10+\left(-12\right)}}=\frac{2^{-21}}{2^{-22}}=2^{-21-\left(-22\right)}=2^{-21+22}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{4^{-2}·8^{-6}}{2^{-22}}=\frac{{\left(2^2\right)}^{-2}·{\left(2^3\right)}^{-6}}{2^{-22}}=\frac{2^{-4}·2^{-18}}{2^{-22}}= \\ =\frac{2^{-4+\left(-18\right)}}{2^{-22}}=\frac{2^{-22}}{2^{-22}}=2^{-22-\left(-22\right)}=2^{-22+22}=2^0=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{3^{-10}·9^8}{{\left(-3\right)}^{\mathbf{2}}}=\frac{3^{-10}·{\left(3^2\right)}^8}{{\left(-3\right)}^2}=\frac{3^{-10}·3^{16}}{3^2}= \\ =\frac{3^{-10+16}}{3^2}=\frac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4=81 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{5^{-5}·25^{10}}{125^3}=\frac{5^{-5}·{\left(5^2\right)}^{10}}{{\left(5^3\right)}^3}=\frac{5^{-5}·5^{20}}{5^9}= \\ =\frac{5^{-5+20}}{5^9}=\frac{5^{15}}{5^9}=5^{15-9}=5^6=15625 \end{gathered}$$

а) $8^{-2} \cdot 4^3$. Для вычисления приведем степени к одному основанию 2. Так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$, выражение можно переписать в виде $(2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем $2^{-6+6} = 2^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Таким образом, $2^0 = 1$.
Ответ: 1

б) $9^{-6} \cdot 27^5$. Приведем степени к основанию 3. Так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$, получаем $(3^2)^{-6} \cdot (3^3)^5$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем выражение: $3^{2 \cdot (-6)} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{-12} \cdot 3^{15}$. Теперь, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $3^{-12+15} = 3^3$. Вычисляем результат: $3^3 = 27$.
Ответ: 27

в) $10^0 : 10^{-3}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Применяя это свойство, получаем $10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3$. Вычисляем значение: $10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

г) $125^{-4} : 25^{-5}$. Приведем основания к степени числа 5: $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Выражение принимает вид $(5^3)^{-4} : (5^2)^{-5}$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем $5^{-12} : 5^{-10}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $5^{-12 - (-10)} = 5^{-12+10} = 5^{-2}$. По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

д) $\frac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}$. Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $4^{-5} \cdot 4^{-6} = 4^{-5+(-6)} = 4^{-11}$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{2^{-21}}{4^{-11}}$. Приведем знаменатель к основанию 2: $4^{-11} = (2^2)^{-11} = 2^{-22}$. Получаем $\frac{2^{-21}}{2^{-22}}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $2^{-21 - (-22)} = 2^{-21+22} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

е) $\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$. Приведем все степени в числителе к основанию 2: $4=2^2$ и $8=2^3$. Выражение в числителе становится $(2^2)^{-2} \cdot (2^3)^{-6} = 2^{-4} \cdot 2^{-18}$. Умножая степени, складываем показатели: $2^{-4+(-18)} = 2^{-22}$. Теперь вся дробь имеет вид $\frac{2^{-22}}{2^{-22}}$. Любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1.
Ответ: 1

ж) $\frac{3^{-10} \cdot 9^8}{(-3)^2}$. Упростим знаменатель: $(-3)^2 = 9 = 3^2$. В числителе приведем 9 к основанию 3: $9^8 = (3^2)^8 = 3^{16}$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{3^{-10} \cdot 3^{16}}{3^2}$. Упростим числитель: $3^{-10} \cdot 3^{16} = 3^{-10+16} = 3^6$. Получаем дробь $\frac{3^6}{3^2}$. При делении вычитаем показатели: $3^{6-2} = 3^4$. Вычисляем: $3^4 = 81$.
Ответ: 81

з) $\frac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^3}$. Приведем все основания к степени числа 5: $25=5^2$ и $125=5^3$. Подставим в выражение: $\frac{5^{-5} \cdot (5^2)^{10}}{(5^3)^3}$. Используя свойство возведения степени в степень, получаем $\frac{5^{-5} \cdot 5^{20}}{5^9}$. Упростим числитель, сложив показатели: $\frac{5^{-5+20}}{5^9} = \frac{5^{15}}{5^9}$. Теперь разделим степени, вычитая показатели: $5^{15-9} = 5^6$. Вычисляем результат: $5^6 = (5^3)^2 = 125^2 = 15625$.
Ответ: 15625