Номер 1201, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1201, страница 267.

1201. Вычислите:

a) $8^{-2}·4^3={\left(2^3\right)}^{-2}·{\left(2^2\right)}^3=2^{-6}·2^6=2^{-6+6}=2^0=1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{9}^{-6}·27^5={\left(3^2\right)}^{-6}·{\left(3^3\right)}^5=3^{-12}·3^{15}= \\ =3^{-12+15}=3^3=27 \end{gathered}$$

в) $10^0:10^{-3}=10^{0-\left(-3\right)}=10^3=100010^0:\; 10^\{-3\}=10^\{0-(-3)\}=10^3=1000$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}125^{-4}:25^{-5}={\left(5^3\right)}^{-4}:{\left(5^2\right)}^{-5}=5^{-12}:5^{-10}= \\ =5^{-12-\left(-10\right)}=5^{-12+10}=5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2^{-21}}{4^{-5}·4^{-6}}=\frac{2^{-21}}{{\left(2^2\right)}^{-5}·{\left(2^2\right)}^{-6}}=\frac{2^{-21}}{2^{-10}·2^{-12}}= \\ =\frac{2^{-21}}{2^{-10+\left(-12\right)}}=\frac{2^{-21}}{2^{-22}}=2^{-21-\left(-22\right)}=2^{-21+22}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{4^{-2}·8^{-6}}{2^{-22}}=\frac{{\left(2^2\right)}^{-2}·{\left(2^3\right)}^{-6}}{2^{-22}}=\frac{2^{-4}·2^{-18}}{2^{-22}}= \\ =\frac{2^{-4+\left(-18\right)}}{2^{-22}}=\frac{2^{-22}}{2^{-22}}=2^{-22-\left(-22\right)}=2^{-22+22}=2^0=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{3^{-10}·9^8}{{\left(-3\right)}^{\mathbf{2}}}=\frac{3^{-10}·{\left(3^2\right)}^8}{{\left(-3\right)}^2}=\frac{3^{-10}·3^{16}}{3^2}= \\ =\frac{3^{-10+16}}{3^2}=\frac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4=81 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{5^{-5}·25^{10}}{125^3}=\frac{5^{-5}·{\left(5^2\right)}^{10}}{{\left(5^3\right)}^3}=\frac{5^{-5}·5^{20}}{5^9}= \\ =\frac{5^{-5+20}}{5^9}=\frac{5^{15}}{5^9}=5^{15-9}=5^6=15625 \end{gathered}$$

а) $8^{-2} \cdot 4^3$. Для вычисления приведем степени к одному основанию 2. Так как $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$, выражение можно переписать в виде $(2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем $2^{-6+6} = 2^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Таким образом, $2^0 = 1$.
Ответ: 1

б) $9^{-6} \cdot 27^5$. Приведем степени к основанию 3. Так как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$, получаем $(3^2)^{-6} \cdot (3^3)^5$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем выражение: $3^{2 \cdot (-6)} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{-12} \cdot 3^{15}$. Теперь, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $3^{-12+15} = 3^3$. Вычисляем результат: $3^3 = 27$.
Ответ: 27

в) $10^0 : 10^{-3}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Применяя это свойство, получаем $10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3$. Вычисляем значение: $10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

г) $125^{-4} : 25^{-5}$. Приведем основания к степени числа 5: $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Выражение принимает вид $(5^3)^{-4} : (5^2)^{-5}$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем $5^{-12} : 5^{-10}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $5^{-12 - (-10)} = 5^{-12+10} = 5^{-2}$. По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

д) $\frac{2^{-21}}{4^{-5} \cdot 4^{-6}}$. Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $4^{-5} \cdot 4^{-6} = 4^{-5+(-6)} = 4^{-11}$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{2^{-21}}{4^{-11}}$. Приведем знаменатель к основанию 2: $4^{-11} = (2^2)^{-11} = 2^{-22}$. Получаем $\frac{2^{-21}}{2^{-22}}$. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $2^{-21 - (-22)} = 2^{-21+22} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

е) $\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$. Приведем все степени в числителе к основанию 2: $4=2^2$ и $8=2^3$. Выражение в числителе становится $(2^2)^{-2} \cdot (2^3)^{-6} = 2^{-4} \cdot 2^{-18}$. Умножая степени, складываем показатели: $2^{-4+(-18)} = 2^{-22}$. Теперь вся дробь имеет вид $\frac{2^{-22}}{2^{-22}}$. Любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1.
Ответ: 1

ж) $\frac{3^{-10} \cdot 9^8}{(-3)^2}$. Упростим знаменатель: $(-3)^2 = 9 = 3^2$. В числителе приведем 9 к основанию 3: $9^8 = (3^2)^8 = 3^{16}$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{3^{-10} \cdot 3^{16}}{3^2}$. Упростим числитель: $3^{-10} \cdot 3^{16} = 3^{-10+16} = 3^6$. Получаем дробь $\frac{3^6}{3^2}$. При делении вычитаем показатели: $3^{6-2} = 3^4$. Вычисляем: $3^4 = 81$.
Ответ: 81

з) $\frac{5^{-5} \cdot 25^{10}}{125^3}$. Приведем все основания к степени числа 5: $25=5^2$ и $125=5^3$. Подставим в выражение: $\frac{5^{-5} \cdot (5^2)^{10}}{(5^3)^3}$. Используя свойство возведения степени в степень, получаем $\frac{5^{-5} \cdot 5^{20}}{5^9}$. Упростим числитель, сложив показатели: $\frac{5^{-5+20}}{5^9} = \frac{5^{15}}{5^9}$. Теперь разделим степени, вычитая показатели: $5^{15-9} = 5^6$. Вычисляем результат: $5^6 = (5^3)^2 = 125^2 = 15625$.
Ответ: 15625