Номер 1194, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1194, страница 267.

1194. Вычислите:

a) $5^{-15}·5^{16}=5^{-15+16}=55^\{-15\}\; \backslash cdot\; 5^\{16\}=5^\{-15+16\}=5$

б) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}·{\left(\frac{1}{3}\right)}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4+3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3$

в) $4^{-8}:4^{-9}=4^{-8-\left(-9\right)}=4^{-8+9}=44^\{-8\}\; :\; 4^\{-9\}=4^\{-8-(-9)\}=4^\{-8+9\}=4$

г) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2:{\left(\frac{1}{5}\right)}^4={\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-4}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{25}}}=25$

д) ${\left(2^{-2}\right)}^{-3}=2^6=64$

e) ${\left(0,1^{-3}\right)}^{-1}=0,1^3=0,001$

а) Для вычисления произведения степеней с одинаковым основанием $5$ используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, показатели степеней складываются: $5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15+16} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

б) В данном случае также применяется правило умножения степеней с одинаковым основанием $(\frac{1}{3})$. Складываем показатели степеней: $(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3} = (\frac{1}{3})^{-4+3} = (\frac{1}{3})^{-1}$. Степень с отрицательным показателем равна обратному числу, возведенному в степень с положительным показателем, то есть $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Таким образом, $(\frac{1}{3})^{-1} = (\frac{3}{1})^1 = 3$.
Ответ: 3

в) При делении степеней с одинаковым основанием $4$ их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$. Выполним вычитание показателей: $4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{-8+9} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4

г) Аналогично предыдущему пункту, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{1}{5})$, где показатели вычитаются: $(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4} = (\frac{1}{5})^{2-4} = (\frac{1}{5})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем $(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

д) При возведении степени в степень их показатели перемножаются, согласно свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножаем показатели: $(2^{-2})^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} = 2^6$. Вычисляем значение: $2^6 = 64$.
Ответ: 64

е) Используем то же свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Получаем $(0,1^{-3})^{-1} = 0,1^{(-3) \cdot (-1)} = 0,1^3$. Представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$ и возведем в куб: $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1^3}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.
Ответ: 0,001