Номер 1188, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1188, страница 265.

1188. Представьте в виде дроби выражение:

a) $a^{-2}+b^{-2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}a^\{-2\}+b^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{a^2\}+\backslash frac\{1\}\{b^2\}=\backslash frac\{a^2+b^2\}\{a^2b^2\}$

б) $x{y}^{-1}+x{y}^{-2}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y^2}=\frac{xy+x}{y^2}xy^\{-1\}+xy^\{-2\}=\backslash frac\{x\}\{y\}+\backslash frac\{x\}\{y^2\}=\backslash frac\{xy+x\}\{y^2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(a+b^{-1}\right)\left(a^{-1}-b\right)=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}-b\right)= \\ =\frac{ab+1}{b}·\frac{1-ab}{a}=\frac{1-a^2{b}^2}{ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(x-2y^{-1}\right)\left(x^{-1}+2y\right)=\left(x-\frac{2}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+2y\right)= \\ =\frac{xy-2}{y}·\frac{1+2xy}{x}=\frac{xy+2x^2{y}^2-2-4xy}{xy}= \\ =\frac{2x^2{y}^2-3xy-2}{xy} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить выражение $a^{-2} + b^{-2}$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$
Далее приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1 \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} + \frac{1 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

б)

Преобразуем слагаемые с отрицательными степенями: $y^{-1} = \frac{1}{y}$ и $y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
$xy^{-1} + xy^{-2} = x \cdot \frac{1}{y} + x \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{x}{y} + \frac{x}{y^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $y^2$:
$\frac{x \cdot y}{y \cdot y} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy}{y^2} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy + x}{y^2}$
Ответ: $\frac{xy + x}{y^2}$

в)

Преобразуем выражение $(a + b^{-1})(a^{-1} - b)$, заменив степени с отрицательным показателем на дроби:
$(a + \frac{1}{b})( \frac{1}{a} - b)$
Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю.
Первая скобка: $a + \frac{1}{b} = \frac{a \cdot b}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$
Вторая скобка: $\frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} - \frac{b \cdot a}{a} = \frac{1 - ab}{a}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{ab + 1}{b} \cdot \frac{1 - ab}{a} = \frac{(1 + ab)(1 - ab)}{ab}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$\frac{1^2 - (ab)^2}{ab} = \frac{1 - a^2b^2}{ab}$
Ответ: $\frac{1 - a^2b^2}{ab}$

г)

Преобразуем выражение $(x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y)$, заменив степени с отрицательным показателем на дроби:
$(x - \frac{2}{y})( \frac{1}{x} + 2y)$
Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю.
Первая скобка: $x - \frac{2}{y} = \frac{x \cdot y}{y} - \frac{2}{y} = \frac{xy - 2}{y}$
Вторая скобка: $\frac{1}{x} + 2y = \frac{1}{x} + \frac{2y \cdot x}{x} = \frac{1 + 2xy}{x}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{xy - 2}{y} \cdot \frac{1 + 2xy}{x} = \frac{(xy - 2)(1 + 2xy)}{yx}$
Раскроем скобки в числителе, перемножив многочлены:
$(xy - 2)(2xy + 1) = xy \cdot 2xy + xy \cdot 1 - 2 \cdot 2xy - 2 \cdot 1 = 2x^2y^2 + xy - 4xy - 2 = 2x^2y^2 - 3xy - 2$
Запишем итоговую дробь:
$\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$
Ответ: $\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$