Номер 1191, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1191, страница 265.

1191. При каких натуральных n дробь (n - 7)²n принимает натуральные значения?

$$\begin{gathered} \frac{{\left(n-7\right)}^2}{n}=\frac{n^2-14n+49}{n}=n-14+\frac{49}{n} \\ n=1; 1-14+49=36\in N \\ n=7; 7-14+\frac{49}{7}=-7+7=0\notin N \\ n=49; 49-14+\frac{49}{49}=35+1=36\in N \end{gathered}$$

Ответ: при n=1, n=49

Для того чтобы дробь $ \frac{(n-7)^2}{n} $ принимала натуральные значения, где $n$ — натуральное число, необходимо преобразовать данное выражение.

Сначала раскроем квадрат в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$ (n-7)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 7 + 7^2 = n^2 - 14n + 49 $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и разделим числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{n^2 - 14n + 49}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{14n}{n} + \frac{49}{n} = n - 14 + \frac{49}{n} $.

По условию $n$ является натуральным числом, значит, $n - 14$ является целым числом. Для того чтобы все выражение $n - 14 + \frac{49}{n}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $ \frac{49}{n} $ также было целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 49.

Найдем все натуральные делители числа 49. Это числа 1, 7 и 49.

Теперь проверим каждое из этих значений $n$, чтобы убедиться, что значение всей дроби будет натуральным числом (то есть положительным целым числом).

1. При $n=1$:
$ \frac{(1-7)^2}{1} = \frac{(-6)^2}{1} = 36 $.
Значение 36 является натуральным числом.

2. При $n=7$:
$ \frac{(7-7)^2}{7} = \frac{0^2}{7} = 0 $.
Значение 0 не является натуральным числом.

3. При $n=49$:
$ \frac{(49-7)^2}{49} = \frac{42^2}{49} = \frac{1764}{49} = 36 $.
Значение 36 является натуральным числом.

Следовательно, дробь принимает натуральные значения только при $n=1$ и $n=49$.

Ответ: 1, 49.