Номер 1198, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1198, страница 267.

1198. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

a) $27·3^{-4}=3^3·3^{-4}=3^{3+(-4)}=3^{-1}=\frac{1}{3}$

б) ${\left(3^{-1}\right)}^5·{81}^2=3^{-5}·{\left(3^4\right)}^2=3^{-5}·3^8=3^{-5+8}=3^3=27$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{9}^{-2}:3^{-6}={\left(3^2\right)}^{-2}:3^{-6}=3^{-4}:3^{-6}=3^{-4-(-6)}= \\ =3^{-4+6}=3^2=9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{81}^3:{\left(9^{-2}\right)}^{-3}={\left(3^4\right)}^3:({\left(3^2\right)}^{-2}{)}^{-3}=3^{12}:3^{12}= \\ =3^{12-12}=3^0=1 \end{gathered}$$

а) $27 \cdot 3^{-4}$

Для решения задачи необходимо привести все множители к степеням с основанием 3. Число 27 можно представить как $3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3 + (-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$

Теперь найдем значение полученного выражения. Степень с отрицательным показателем $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$:

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

б) $(3^{-1})^5 \cdot 81^2$

Сначала преобразуем оба множителя к степеням с основанием 3. Для первого множителя используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(3^{-1})^5 = 3^{-1 \cdot 5} = 3^{-5}$

Для второго множителя сначала представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$. Затем также применим свойство возведения степени в степень:

$81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$

Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели:

$3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5 + 8} = 3^3$

Найдем значение выражения:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Ответ: $3^3 = 27$.

в) $9^{-2} : 3^{-6}$

Приведем делимое к степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то:

$9^{-2} = (3^2)^{-2}$

Используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем:

$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$

Теперь выполним деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 - (-6)} = 3^{-4 + 6} = 3^2$

Найдем значение выражения:

$3^2 = 9$

Ответ: $3^2 = 9$.

г) $81^3 : (9^{-2})^{-3}$

Представим все числа в выражении как степени с основанием 3: $81 = 3^4$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$(3^4)^3 : ((3^2)^{-2})^{-3}$

Упростим делимое и делитель по отдельности, используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

Делимое: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$

Делитель: $((3^2)^{-2})^{-3} = (3^{2 \cdot (-2)})^{-3} = (3^{-4})^{-3} = 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12}$

Теперь выполним деление, вычитая показатели степеней:

$3^{12} : 3^{12} = 3^{12 - 12} = 3^0$

Найдем значение выражения. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1:

$3^0 = 1$

Ответ: $3^0 = 1$.