Номер 1202, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1202, страница 268.

1202. Найдите значение выражения:

a) $125^{-1}·25^2={\left(5^3\right)}^{-1}·{\left(5^{-2}\right)}^2=5^{-3}·5^4=5^{-3+4}=5$

б) $16^{-3}·4^6={\left(2^4\right)}^{-3}{\left(2^2\right)}^6=2^{-12}·2^{12}=2^{-12+12}=2^0=1$

в) ${\left(6^2\right)}^6:6^{14}=6^{12}:6^{14}=6^{12-14}=6^{-2}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$

г) $12^0:{\left(12^{-1}\right)}^2=12^0:12^{-2}=12^{0-\left(-2\right)}=12^2=144$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \frac{{\left(2^3\right)}^{\mathbf{5}}·{\left(2^{-6}\right)}^2}{4^2}=\frac{2^{15}·2^{-12}}{{\left(2^2\right)}^2}=\frac{2^{15+\left(-12\right)}}{2^4}= \\ =\frac{2^3}{2^4}=2^{3-4}=2^{-1}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e)}} \frac{{\left(3^{-2}\right)}^3·9^4}{{\left(3^3\right)}^2}=\frac{3^{-6}·{\left(3^2\right)}^4}{3^6}=\frac{3^{-6}·3^8}{3^6}=\frac{3^{-6+8}}{3^6}= \\ =\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $125^{-1} \cdot 25^2$, представим числа 125 и 25 в виде степеней с основанием 5. Так как $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$, то выражение принимает вид:
$(5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4$
Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, находим:
$5^{-3+4} = 5^1 = 5$
Ответ: 5

б) Чтобы найти значение выражения $16^{-3} \cdot 4^6$, представим число 16 в виде степени с основанием 4. Так как $16 = 4^2$, то выражение принимает вид:
$(4^2)^{-3} \cdot 4^6$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$4^{2 \cdot (-3)} \cdot 4^6 = 4^{-6} \cdot 4^6$
Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$4^{-6+6} = 4^0 = 1$
Ответ: 1

в) Чтобы найти значение выражения $(6^2)^6 : 6^{14}$, сначала упростим первое выражение, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^6 = 6^{2 \cdot 6} = 6^{12}$
Теперь выражение выглядит так:
$6^{12} : 6^{14}$
Применяя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:
$6^{12-14} = 6^{-2}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
Ответ: $\frac{1}{36}$

г) Чтобы найти значение выражения $12^0 : (12^{-1})^2$, вспомним, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то есть $12^0=1$. Упростим делитель:
$(12^{-1})^2 = 12^{-1 \cdot 2} = 12^{-2}$
Теперь разделим:
$1 : 12^{-2} = 12^0 : 12^{-2} = 12^{0 - (-2)} = 12^{0+2} = 12^2 = 144$
Ответ: 144

д) Чтобы найти значение выражения $\frac{(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2}{4^2}$, упростим числитель и знаменатель.
В числителе:
$(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2 = 2^{3 \cdot 5} \cdot 2^{-6 \cdot 2} = 2^{15} \cdot 2^{-12} = 2^{15-12} = 2^3$
В знаменателе представим 4 как $2^2$:
$4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{2^3}{2^4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Чтобы найти значение выражения $\frac{(3^{-2})^3 \cdot 9^4}{(3^3)^2}$, упростим числитель и знаменатель, приведя все к основанию 3.
В числителе:
$(3^{-2})^3 \cdot 9^4 = 3^{-2 \cdot 3} \cdot (3^2)^4 = 3^{-6} \cdot 3^{2 \cdot 4} = 3^{-6} \cdot 3^8 = 3^{-6+8} = 3^2$
В знаменателе:
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{3^2}{3^6} = 3^{2-6} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$
Ответ: $\frac{1}{81}$