Номер 1203, страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1203, страница 268.

1203. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, сократите дробь:

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{25^m}{5^{2m-1}}=\frac{{\left(5^2\right)}^m}{5^{2m-1}}=\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}}=5^{2m-\left(2m-1\right)}= \\ =5^{2m-2m+1}=5^1=5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6^m}{2^{m-1}·3^{m+1}}=\frac{{\left(2·3\right)}^m}{2^{m-1}·3^{m+1}}=\frac{2^m·3^m}{2^{m-1}·3^{m+1}}= \\ =2^{m-\left(m-1\right)}·3^{m-\left(m+1\right)}=2^{m-m+1}·3^{m-m-1}= \\ =2·3^{-1}=2·\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{25^m}{5^{2m-1}}$, необходимо привести степени к общему основанию. В данном случае это основание 5.

1. Представим числитель дроби с основанием 5. Поскольку $25 = 5^2$, то $25^m = (5^2)^m$.

2. Используя свойство возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получим: $(5^2)^m = 5^{2m}$.

3. Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}}$.

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$). Применим это правило:

$\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}} = 5^{2m - (2m - 1)} = 5^{2m - 2m + 1} = 5^1 = 5$.

Ответ: $5$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$, необходимо разложить числитель на множители, основания которых совпадают с основаниями в знаменателе.

1. Представим основание 6 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$.

2. Тогда числитель $6^m$ можно записать как $(2 \cdot 3)^m$. Используя свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$, получим: $(2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m$.

3. Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$.

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней ($\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$):

$\frac{2^m}{2^{m-1}} \cdot \frac{3^m}{3^{m+1}} = 2^{m - (m-1)} \cdot 3^{m - (m+1)} = 2^{m-m+1} \cdot 3^{m-m-1} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

5. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^1 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$