Номер 1200, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1200, страница 267.

1200. Представьте выражение, в котором m — целое число, в виде степени с основанием 5:

a) $5^m·5^{m+1}·5^{1-m}=5^{m+m+1+1-m}=5^{m+2}5^m\; \backslash cdot\; 5^\{m+1\}\; \backslash cdot\; 5^\{1-m\}=5^\{m+m+1+1-m\}=5^\{m+2\}$

б) ${\left(5^m\right)}^2·{\left(5^{-3}\right)}^m=5^{2m}·5^{-3m}=5^{2m+\left(-3m\right)}=5^{-m}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}625:5^{4m-2}=5^4:5^{4m-2}=5^{4-\left(4m-2\right)}= \\ =5^{4-4m+2}=5^{6-4m} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить выражение $5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m}$ в виде степени с основанием 5, необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
Сложим показатели степеней в данном выражении:
$m + (m+1) + (1-m)$
Упростим полученное выражение:
$m + m + 1 + 1 - m = (m + m - m) + (1 + 1) = m + 2$
Таким образом, исходное выражение можно записать в виде степени с основанием 5 и показателем $m+2$.
$5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m} = 5^{m + m + 1 + 1 - m} = 5^{m+2}$
Ответ: $5^{m+2}$

б) В выражении $(5^m)^2 \cdot (5^{-3})^m$ сначала нужно применить свойство возведения степени в степень: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$. При применении этого свойства показатели степеней перемножаются.
Применим это свойство к каждому множителю:
$(5^m)^2 = 5^{m \cdot 2} = 5^{2m}$
$(5^{-3})^m = 5^{-3 \cdot m} = 5^{-3m}$
Теперь выражение имеет вид: $5^{2m} \cdot 5^{-3m}$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ и сложим показатели:
$2m + (-3m) = 2m - 3m = -m$
Таким образом, получаем:
$(5^m)^2 \cdot (5^{-3})^m = 5^{2m} \cdot 5^{-3m} = 5^{-m}$
Ответ: $5^{-m}$

в) Для упрощения выражения $625 : 5^{4m-2}$ сначала представим число 625 в виде степени с основанием 5.
$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Теперь заменим 625 на $5^4$ в исходном выражении:
$5^4 : 5^{4m-2}$
Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^x : a^y = a^{x-y}$. Согласно этому свойству, из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
$4 - (4m - 2)$
Раскроем скобки и упростим выражение в показателе:
$4 - 4m + 2 = 6 - 4m$
Таким образом, исходное выражение равно:
$625 : 5^{4m-2} = 5^4 : 5^{4m-2} = 5^{4-(4m-2)} = 5^{6-4m}$
Ответ: $5^{6-4m}$