Номер 1196, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Свойства степени с целым показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1196, страница 267.

1196. Докажите, что ab⁻ⁿ = baⁿ при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n, a\ne 0, b\ne 0 \\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n \end{gathered}$$

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая часть может быть преобразована в правую с помощью свойств степени. Доказательство проводится для любого целого числа $n$ и при условиях $a \neq 0$ и $b \neq 0$, которые гарантируют, что знаменатели дробей не равны нулю.

Рассмотрим левую часть равенства: $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} $.

Воспользуемся одним из ключевых свойств степени: $ (x^p)^q = x^{p \cdot q} $. Представим показатель степени $-n$ в виде произведения $(-1) \cdot n$. Это позволяет нам переписать выражение следующим образом:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{(-1) \cdot n} = \left( \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} \right)^n $

Теперь проанализируем выражение, стоящее в скобках: $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} $. По определению степени с показателем -1, для любого ненулевого числа $x$ справедливо $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Применительно к дроби это означает нахождение обратной дроби:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a} $

Мы получили, что $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} $. Теперь подставим этот результат в наше преобразованное выражение:

$ \left( \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} \right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^n $

Таким образом, мы выполнили цепочку тождественных преобразований и показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $ доказано для любых целых $n$ и ненулевых $a$ и $b$.