Номер 1190, страница 265 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1190, страница 265.

1190. Определите множество значений x, при которых функция y = (x – 2)⁻¹ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

$$\begin{gathered} y={\left(x-2\right)}^{-1} \\ y=\frac{1}{x-2} \end{gathered}$$

a) $y>0y>0; \frac{1}{x-2}>0\backslash frac\{1\}\{x-2\}>0; x-2>0x-2>0; x>2x>2$

Ответ: (2; +∞)

б)

Ответ: (-∞; 2)

а) положительные значения

Данная функция $y = (x - 2)^{-1}$ может быть переписана в виде дроби: $y = \frac{1}{x - 2}$.

Чтобы функция принимала положительные значения, необходимо выполнение неравенства $y > 0$: $\frac{1}{x - 2} > 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель нашей дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, знаменатель также должен быть положительным: $x - 2 > 0$.

Решая это неравенство, получаем: $x > 2$.

Таким образом, множество значений $x$, при которых функция принимает положительные значения, — это интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) отрицательные значения

Чтобы функция принимала отрицательные значения, необходимо выполнение неравенства $y < 0$: $\frac{1}{x - 2} < 0$.

Дробь является отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Так как числитель равен 1 (положительное число), знаменатель должен быть отрицательным: $x - 2 < 0$.

Решая это неравенство, получаем: $x < 2$.

Таким образом, множество значений $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, — это интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.