Номер 1184, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1184, страница 264.

1184. Найдите значение выражения:

a) $8·4^{-3}=8·\frac{1}{4^3}=8·\frac{1}{64}=\frac{1}{8}$

б) $-2·10^{-5}=-2·\frac{1}{10^5}=-\frac{2}{100000}=-0,00002-2\backslash cdot10^\{-5\}=-2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{10^5\}=-\backslash frac\{2\}\{100000\}=-0,00002$

в) $18·{\left(-9\right)}^{-1}=18·\left(-\frac{1}{9}\right)=-2$

г) $10·{\left(-\frac{1}{5}\right)}^{-1}=10·\left(-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right)=-10·5=-50$

д) $3^{-2}+4^{-1}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{4}{36}+\frac{9}{36}=\frac{13}{36}3^\{-2\}+4^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{3^2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{9\}+\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash frac\{4\}\{36\}+\backslash frac\{9\}\{36\}=\backslash frac\{13\}\{36\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{2}^{-3}-{\left(-2\right)}^{-4}=\frac{1}{2^3}-\left(\frac{1}{{\left(-2\right)}^4}\right)=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}= \\ =\frac{2}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}0,5^{-2}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=\frac{1}{0,5^2}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{1}{0,25}+3= \\ =\frac{100}{25}+3=4+3=7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}0,3^0+0,1^{-4}=1+\frac{1}{0,1^4}=1+\frac{1}{0,0001}= \\ =1+\frac{10000}{1}=10001 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $8 \cdot 4^{-3}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Сначала вычислим $4^{-3}$:
$4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим 8 на полученный результат:
$8 \cdot \frac{1}{64} = \frac{8}{64}$. Сократив дробь на 8, получим $\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Для вычисления выражения $-2 \cdot 10^{-5}$ используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Вычислим $10^{-5}$:
$10^{-5} = \frac{1}{10^5} = \frac{1}{100000} = 0,00001$.
Далее выполним умножение:
$-2 \cdot 0,00001 = -0,00002$.
Ответ: $-0,00002$.

в) Для вычисления выражения $18 \cdot (-9)^{-1}$ используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Вычислим $(-9)^{-1}$:
$(-9)^{-1} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$18 \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{18}{9} = -2$.
Ответ: $-2$.

г) Для вычисления выражения $10 \cdot (-\frac{1}{5})^{-1}$ используем свойство для дроби с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Вычислим $(-\frac{1}{5})^{-1}$:
$(-\frac{1}{5})^{-1} = (-\frac{5}{1})^1 = -5$.
Теперь выполним умножение:
$10 \cdot (-5) = -50$.
Ответ: $-50$.

д) Для вычисления выражения $3^{-2} + 4^{-1}$ сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
$4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим полученные дроби. Общий знаменатель для 9 и 4 равен 36.
$\frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{36} + \frac{1 \cdot 9}{36} = \frac{4+9}{36} = \frac{13}{36}$.
Ответ: $\frac{13}{36}$.

е) Для вычисления выражения $2^{-3} - (-2)^{-4}$ вычислим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4}$. Так как показатель степени (-4) четный, результат возведения в степень отрицательного основания будет положительным: $(-2)^4 = 16$. Таким образом, $(-2)^{-4} = \frac{1}{16}$.
Теперь выполним вычитание. Общий знаменатель для 8 и 16 равен 16.
$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

ж) Для вычисления выражения $0,5^{-2} + (\frac{1}{3})^{-1}$ сначала представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Выражение примет вид: $(\frac{1}{2})^{-2} + (\frac{1}{3})^{-1}$.
Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ для каждого слагаемого.
$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
$(\frac{1}{3})^{-1} = (\frac{3}{1})^1 = 3$.
Сложим полученные значения:
$4 + 3 = 7$.
Ответ: $7$.

з) Для вычисления выражения $0,3^0 + 0,1^{-4}$ используем следующие свойства степеней:
1. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
2. Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Вычислим первое слагаемое: $0,3^0 = 1$.
Для второго слагаемого представим $0,1$ в виде дроби $\frac{1}{10}$:
$0,1^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.
Сложим полученные значения:
$1 + 10000 = 10001$.
Ответ: $10001$.